[理工] [線代] 和空間維度定理證明

[ofd168 (大色狼來襲)]

和空間維度定理:

若 W1,W2 為有限維度向量空間V之子空間

than dim(W1+W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 AND W2)

AND ->交集


看補習班書是這樣證

Let S = {v1,...,vk}, span(S) 屬於 W1 AND W2

V1 = {v1,...,vk,w1,...,wm}  span(V1) = W1
V2 = {v1,...,vk,u1,...,un}  span(V2) = W2


//////////看不懂//////////////////



W1+W2 = {a+b| a 屬於W1,b 屬於W2}

又 v1,...,vk,w1,...,wm,u1,...,un 線性獨立

所以 一 B = {v1,...,vk,w1,...,wm,u1,...,un},span(B)=W1+W2


所以dim(W1)+dim(W2) = (k+m) + (k+n) = k + (m+k+n)
                    = dim(W1 AND W2) + dim(W1+W2)


問題  要怎麼證明v1,...,vk,w1,...,wm,u1,...,un 線性獨立???


麻煩大大們了

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我想說可不可以一開始就假設
dim(W1) = k+m
dim(W2) = k+n
又dim(W1 AND W2) = k

W1 = basis {v1,...,vk,w1,...,wm}
W2 = basis {v1,...,vk,u1,...,un}
W1 AND W2 = basis {v1,...,vk}------#1

又v1,...,vk,w1,...,wm linear indep
  v1,...,vk,u1,...,un linear indep
而由#1知 w1,...,wm,u1,...,un linear indep


然後直接搞???


感覺好像不對耶

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.35.205.107
※ 編輯: ofd168          來自: 114.35.205.107       (08/30 17:29)
推 AIdrifter:覺得這樣寫有點怪 一一" 你都設他是基底那就是LI啦
→ AIdrifter:如果你是要證w1+w2 LI 不能用v1..vk LI所以其餘向量 LI
推 AIdrifter:原本証法是先移項成w1=w2 這等式代表w1交集w2
→ AIdrifter:然後把w1那邊寫成w1交集w2的線性組合 證出w2那邊係數0
→ AIdrifter:0的部分為u1....um 再丟回去等式 原本為v+w+u=0
→ AIdrifter:但你證出了u=0就剩下v+w=0 那不就是w1嗎? 我們知道w1 LI
→ AIdrifter:所以v+w的係數組合就是0了
→ AIdrifter:證LI一定要寫成某一組LI的向量 ie W1 你才可以說他LI
→ AIdrifter:這題關鍵技巧就在移項成(v w)w1=(u)w2  屬於 w1交集w2
→ AIdrifter:重點在於 你一定要寫出一個表示方法 只有一組LI向量
→ AIdrifter:才可以說他LI 所以才會要拆W1 W2證
推 AIdrifter:http://imageshack.us/photo/my-images/89/img3038u.jpg
→ AIdrifter:PTT我不會排版> < 附上筆記希望能幫助你了解~
→ ofd168:襪! 感謝大大，大大是補黃子嘉的？？
→ ofd168:大大,有一邊看不懂移項成w1=w2 右式會=w2???
推 AIdrifter:右式變成w2的子空間 而要符合w1=w2子空間 只有w1交集w2
→ AIdrifter:把左邊換掉 剩下成w2表示方式 就可以利用w2 is LI證LI了
→ ofd168:我實在太笨了...為什麼要移項成w1=w2?為什麼代表w1交集w2?
→ ofd168:等式左邊是W1 右邊是W2的子空間 是這個意思?
→ ofd168:另，筆記上alpha和beta是空間還是矩陣？
推 AIdrifter:我覺得都一樣耶 但是建議當空間想比較好
→ AIdrifter:等式內 要符合等式(等式左)W1又(右)W2 不就是W1交集W2嗎
→ AIdrifter:然後你再把等式左邊寫成W1交集W2的組合方式
→ AIdrifter:整個式子上面向量只剩下W2部分 就可以 用W2 is LI
→ sneak: 襪! 感謝大大，大大是 https://daxiv.com