Re: [理工] [線代]向量空間和行列式問題

[AIdrifter (交錯地帶)]

※ 引述《ofd168 (大色狼來襲)》之銘言：
: 小弟有幾題問題想問
: 很多證明都是直覺上知道是對的　　卻不會證　　好無奈
: 1. A.B 為m*n matrices
:   show that   rank(A+B) <= rank(A)+rank(B)
: 這題我只想到用和空間定理
: rank(A+B) = rank(A) + rank(B) - rank(A and B)

用法沒錯
但是建議前面先寫出
 CS(A+B)包含於CS(A)+CS(B)比較好

: 有其他的用基本觀念解法?
: 2.If A is an m*n matrix and column vectors of A span R^m
:   ,then A has right inverse such as AB = I
: 這要怎麼證?
:
A可以生成Rm
XA=0 X只有0解
A行等價於Im
存在一可逆矩陣P使的  AP=I
//有點囉哩八梭

還有  不過這是行列式的
: 3.Let x and y be vectors in R^n, n>1
:   show that if A = xy^T, then det(A) = 0
: 這題真的是想破頭還是不會........
:
det(A)=det(xy^T)
因為rank(xy^T)<=min{rank(x),rank(y^t)}
rank(A)=1
det(A)=0

4.Let A be an n*n matrix and let k be a scalar
:  show that
:         det(A - kI) = 0  iff  Ax = kx for some x≠0

  Ax-kx=0
=>(A-kI)x=0

因為x不等於0
det(A-kI)=0

這裡的for some是指eigenvector
不是eigenvector Ax=Kx 是不會成立的
eigencevtor必不為0


: 這個感覺有關特徵直  無奈離上次上課已有半年
: 又還沒複習到
: 希望大大們能幫忙  並預祝  研究所金榜題名^^

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◆ From: 218.163.0.211
※ 編輯: AIdrifter       來自: 218.163.0.211        (09/02 13:09)
推 ofd168:哇~大大第三題真的是大開眼界，還有這種解法
→ ofd168:第二題看不太懂，X只有0解
→ ofd168:還有　為什Ａ行等價Ａ　就有可逆矩陣P使的  AP=I
→ ofd168:                  I
推 dogalan:你可以寫出幾個基本矩陣跟A相乘使結果為I 那幾個基本矩陣
→ dogalan:乘出來的結果就是A的反矩陣
→ dogalan:你可以回想LU分解的作法 B=LU L就是一堆基本矩陣相乘 若此
→ dogalan:時B=I 那L自然就變U的反矩陣了(n*n)
推 ofd168:可是d大  那不是要A是nonsigular才行? 這題A沒有說是要方陣
推 dogalan:真的耶沒看清楚 我稍微又想了一下 A的行向量可以生成R^m
推 dogalan:突然發現我要講的跟原po回的一樣...1-3有寫 不過好像也沒
→ dogalan:解釋為什麼行等價就有可逆矩陣P 要再想想
→ dogalan:不過基本上就是當A行等價於B時，存在一個可逆矩陣P 使得
→ dogalan:B=AP 且P為若干基本矩陣的乘積 原因我自己也要再想想QQ
→ AIdrifter:nonsingular只是說Ax=0 x只有0解 不是說是方陣啦
推 ofd168:A大 nonsigular/sigular 不是只有方正才有的嗎
推 dogalan:這題我知道了 這是1-3 基本列運算跟基本行運算的性質
→ dogalan:若A列等價於B 若且唯若存在一可逆矩陣P 使B=PA (P乘在左邊
→ dogalan:若A行等價於B 若且唯若存在一可逆矩陣Q 使B=AQ (Q乘在右邊
→ dogalan:當然如果A是方陣時 則P=Q (左反等於右反)
→ dogalan:有錯請指正3q
→ dogalan:B=I時應該就是這題在問的東西
→ sneak: 你可以寫出幾個基本矩陣 https://daxiv.com