Re: [理工] [工數] PDE

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《hihaka2001 (hihaka)》之銘言：
: 請問大家
: @ qy    @^2 qy
: -----=α-------
: @ t      @ y^2
: qy(y,t)
: qy(0,t)=qo cos (ωt ) where qo is a constant
: qy(∞,t)=0
: qy(y,0)=0
: 他解出來的 qy的分佈
: 為
: qy=qo exp (-√(ω/2α) y )cos ( ωt-√(ω/2α))


    解答是不是打錯了 ?

                              -ky
    我算出來是  qy(y,t) = qo*e   *cos(ωt-ky) , k = √(ω/ 2α)



: 請問一下 此PDE 該如何解!!
: 謝謝
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    用 LT 或是 FT 算都可以

　　反正最難算的反轉換是避不了的

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  <1> by LT
                               ∞          -st
    令 Φ(y,s) = L{qy(y,t)} = ∫  qy(y,t)*e    dt
                               0


    則原式對 t 取 LT 可得:

               d^2
      sΦ = α ──Φ
               dy^2

                y√(s/α)       -y√(s/α)
    → Φ = c1*e          + c2*e



    由  qy(∞,t) = 0  可知  c1 = 0
                                             qo*s
    由  qy(0,t) = qo*cos(ωt)  可知  c2 = ─────
                                          s^2 + ω^2

                       qo*s      -y√(s/α)
    所以  Φ(y,s) = ───── *e
                    s^2 + ω^2

                   -1
    →  qy(y,t) = L { Φ(y,s) }

                          -y√(ω/α) *e^(πi/4) + iωt
                = qo*Re{ e                              }

                      -y√[ω/(2α)]
                = qo*e              *cos{ωt - y√[ω/(2α)]}


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  <2> by FT

                                    ∞
    考慮   Ｑ(s,t) = Fs{qy(y,t)} = ∫  qy(y,t)*sin(sy) dy
                                    0

                       -1            2   ∞
           qy(y,t) = Fs {Ｑ(s,t)} = ──∫  Ｑ(s,t)*sin(sy) ds
                                     π  0


    則原式對 y 取 FST 可得:


         dＱ        2
        ── = α[-s Ｑ + s*qo*cos(ωt)]
         dt

                     -α(s^2)t  t  α(s^2)τ      　           -α(s^2)t
    →  Ｑ = αs*qo*e         *∫ e        *cos(ωτ) dτ + C*e
                                0


    由 qy(y,0) = 0  可知  C = 0


                            -α(s^2)t  t  α(s^2)τ
    所以  Ｑ(s,t) = αs*qo*e         *∫ e        *cos(ωτ) dτ
                                       0


      →  qy(y,t)

            -1
       =  Fs { Ｑ(s,t) }


          2α*qo  ∞     -α(s^2)t  t  α(s^2)τ
       = ────∫  [ se         *∫ e        *cos(ωτ) dτ] * sin(sy)  ds
            π    0                 0

          2α*qo  t    ∞    -α(t-τ)(s^2)
       = ────∫  [∫  s*e               *sin(sy)  ds] * cos(ωτ) dτ
            π    0    0

            y*qo     t         1       -y^2 /[4α(t-τ)]
       = ───── ∫   ────── e                  * cos(ωτ) dτ
          2√(απ)  0   (t-τ)^(3/2)

           y*qo      t       1     -y^2 /(4ατ)
       = ───── ∫   ──── e              * cos[ω(t-τ)] dτ
         2√(απ)   0   τ^(3/2)



　　上面那個積分已經超出我的能力範圍外　ＱＱ

　　頂多只能轉到 LT 上去解:

　　
                 y/√α                 τ=t
       = qo*erfc(───)*cos[ω(t-τ)] │
                  2√τ                 τ=0


              t       y/√α
         - ω∫  erfc(───) * sin[ω(t-τ)]  dτ
              0        2√τ

　　
                 y/√α               y/√α
       = qo*erfc(───) - qo*ω*erfc(───) ⊙ sin(ωt)
                  2√t                 2√t


              Note that ⊙: convolution operator by the LT's formulation


             -1   1   -y*√(s/α)          ω^2
       = qo*L {  ──e            *(1 - ─────) }
                  s                     s^2 + ω^2

             -1   -y*√(s/α)       s
       = qo*L {  e            * ───── }
                                s^2 + ω^2


    該 ILT 與方法<1> 中所標示的黃色字是一樣的




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◆ From: 140.113.211.136
推 hihaka2001:厲害XD 請問你喔 中間那個拉氏為什麼要用複變作
→ hihaka2001:小弟沒學要用複變的拉氏轉換 麻煩教一下謝謝
→ doom8199:因為那個反拉式轉換用一般的方法，算到最後會得到
→ doom8199:method<2> 中那個瑕積分。但是我嘗試用初微的方法
→ doom8199:會一直卡住 OTZ。　所以我才採用複變的方法算它
→ doom8199:或許原po可以去 math 板問看看有沒有其它特殊方法