Re: [理工] [機率]變數變換

[a81288653 (Bow)]

fx(x)=1;0<x<1 用步階函數表示為u(x)-u(x-1),也可寫成rect(x-0.5)

同理fy(y)=1;0<y<1 = u(y)-u(y-1) = rect(y-0.5)

Z=X+Y;Sz={0<z<2}




一、要使用公式法的前提是r.v.之間必須互相獨立,且適用於Z=X(+,-,*,/)Y

       ∞
fz(z)=∫ fx(z-y)*fy(y)dy <= convolution的定義
       -∞
       ∞
     =∫ [u(z-y)-u(z-y-1)]*[u(y)-u(y-1)]dy
       -∞

接著討論積分區間:

(a) u(z-y)=1 => z>y     (b) u(z-y-1)=0 =>z-1<y
(c) u(y)=1 => y>0       (d) u(y-1)=0 =>y<1

a,b,c,d取交集得積分區間為 0< z-1 < y < z < 1 ,

                 z
積分式為 fz(z)=∫  1 dy
                z-1

因為y的積分範圍與z有關,因此最後必須討論z的值域(就和手工折積一模一樣)
                         z
(A) when 0<z<1 , fz(z)=∫ 1 dy = z
                         0
                         1
(B) when 1<z<2 , fz(z)=∫ 1 dy =2-z
                        z-1


                            z  ; 0<z<1
A,B交集後得到最後答案fz(z)=
                            2-z; 1<z<2




二、convolution method

當隨機變數X,Y互相獨立,且Z=X+Y時,fz(z)=fx(x)*fy(y) <推導省略>

fz(z)=rect(x-0.5) * rect(y-0.5)

     =tri(z-1) <頻域相乘再逆轉換>

       z  ; 0<z<1
     =
      2-z ; 1<z<2



結論:
     如果是我考試時應該會用法二,只是列式子要再詳細點,分數比較能確實拿到


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◆ From: 114.37.153.160
推 goshfju:我學的convolution是你的法一  = =a
→ a81288653:定義上是convolution沒錯呀~
推 lai90043:原來二還有這種用法 謝謝