Re: [理工] [線代]

[K7788 (桶三洨!!!)]

※ 引述《lai90043 (賴伯)》之銘言：
: 1.Let u be a unit vector in R^n and A = I - 2uu^T
:              -1
:   determine A  .
: 2.Let a1.a2...ak be the singular values of an m*n
:                            T
:   matrix A .Find det(In + A A).
: =====================================================
: 1.本來想直接將A = I - 2uu^T 取invers 但是馬上卡住解不下去
: 2.不知該如何下手 singular value有什麼特別的意思嗎?

1.

A = I - 2uu^T ----------(1)

A * A^-1 = (I - 2uu^T) * A^-1

I = A^-1 - 2uu^T * A^-1

A^-1 = I + 2uu^T * A^-1 ----------(2)

(1) * (2)

I = I + 2uu^T * A^-1 - 2uu^T - 4uu^T * uu^T * A^-1

2uu^T = -2uu^T * A^-1

A^-1 = - I -----答案

| A^-1 | = -1 -----題目看不太出來到底是要求A^-1還是| A^-1 |

如果是求| A^-1 |，方法有第二

rank(uu^T) = 1 ，eigenvalues(1、2、.....、n-1) = 0

eigenvalues(n) = u^T * u = 1

=> A = I - 2uu^T  eigenvalues(1、2、.....、n-1) = 1

eigenvalues(n) = 1 - 2 *1 = -1

| A^-1 | = 所有eigenvalue相乘 = 1*1*1*....*1*(-1) = -1

不過我覺得這種題目應該是考| A^-1 |，而不是求A^-1

它應該是要考你第二種解法的觀念

有錯請指正

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◆ From: 218.164.48.48
※ 編輯: K7788           來自: 218.164.48.48        (09/08 05:09)
推 dogalan:其實 A=I-2uu^T 兩邊同乘u Au=u-2uu^tu=u-2u=-u 即可推得
→ dogalan:要算A^-1或是知道有一個eigenvalue為-1 原po的方法我看過
→ dogalan:不只一次 可是都沒辦法用出來QQ
→ doom8199:最後那部有問題吧， (uu^T) 不能直接消掉
推 kimkimkimkim:題目有說u為單位向量
推 dogalan:u是單位向量 且u為n*1 所以u^t為1*n 因此u^tu=純量1
→ doom8199:但 (uu^T) 它是矩陣，且 rank = 1 ... 當 dim>1 時
→ doom8199:不存在反矩陣