作者itsforte (失蹤)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [線代]
時間Thu Sep 8 17:22:55 2011
※ 引述《lai90043 (賴伯)》之銘言：
: 1.Let u be a unit vector in R^n and A = I - 2uu^T
: -1
: determine A .
: 2.Let a1.a2...ak be the singular values of an m*n
: T
: matrix A .Find det(In + A A).
: =====================================================
: 1.本來想直接將A = I - 2uu^T 取invers 但是馬上卡住解不下去
: 2.不知該如何下手 singular value有什麼特別的意思嗎?
uu^T 其實是投影矩陣 題目也很好心幫你normal了
如果直接看不出來怎麼反矩陣 那我們來把他分解好了
設: V=[v1,v2,...vn-1], and [u V] is an orthonormal matrix
=> [u V] 可以span R n*n
uu^T = u*1*u^T + V*0*V^T 把他們寫在一起
= [u V]*[1 0]*[u^T]
[0 0] [V^T]
^ n-1階0矩陣 增廣特徵分解
所以原題就很簡單了 ^_^
==
如果知道uu^T是投影
let X=Xu+Xv, Xu // u, Xv orthogonal to u
AX = X -2 uu^T X = Xu+Xv-2Xu = -Xu + Xv
也就是讓u方向反向(Xu => -Xu) 與u正交的方向都不變 (Xv = Xv)
反矩陣就是把u方向再反射回來
所以反矩陣會等於自己
即使uu^T的scalar有變
也是很顯然地能想回來吧 ^_^
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◆ From: 220.140.193.219
推 dogalan:為什麼每個人的答案都不一樣QQ 我想應該是我錯吧 09/08 20:21
→ dogalan:好像也沒有每個人不一樣 所以A=A^-1=-I? 09/08 22:23
推 mqazz1:我後來翻了一下黃子嘉的書 我上面回的跟黃子嘉解的一樣 09/08 22:27
→ mqazz1:95成大電通 或是第三版下冊8-158頁 09/08 22:28
→ mqazz1:打錯 是我上篇回的跟黃子嘉解的一樣 09/08 22:29
→ itsforte:A = A inverse, 應該不會等於-I耶.... 09/08 22:32
→ itsforte:mqazz1 這是H沒錯呀 09/08 22:33
推 mqazz1:恩 所以回d大的問題應該是A^(-1) = A = I - 2uu^T =/= -I 09/08 22:38
推 dogalan:ok謝謝 只是不太懂為什麼不等於-I 09/08 23:26
→ itsforte:u=[1 0 0]^T 算出來就不合了 o_o 09/09 00:20
→ itsforte:你是K7788嗎 uu^T沒有反矩陣不能對消喔 09/09 00:36
→ doom8199:inv(-I) 也是等於 -I。若等於 A, 那不就違反 "反矩陣存在 09/09 07:46
→ doom8199:則必唯一" 的定理嗎 09/09 07:46