推 KAINTS:感謝大大 這個證明有夠給他複雜的... 10/14 08:32
※ 引述《KAINTS (RUKAWA)》之銘言：
: +oo (n) n (n)
: S x(t)a (t-b)dt=(-1) x (b)
: -oo
: (n) n (n)
: -> x(t)a (t-b)=(-1) x (b)a(t-b)
: 註:
: (1) a(t):delta function (因為我打不出來...) 故藉此表示
: (n) (n)
: (2) a (t-b) & x (b) :表微分n次
: 請問一下 這個要怎麼證明
: 希望得到各位高手的幫忙
: 感恩
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∞
∫ f(x)δ(x) dx = f(0) if f(x) is continuous at x=0 ____(1)
-∞
你要能知道上式的背後代表著存在一個函數序列 {δ_n(x)} , 使得 :
∞
lim ∫ f(x)δ_n(x) dx = f(0) ____(2)
n→∞ -∞
或是說更精確點:
f(0) = lim < δ_n(x), f(x) > ≡ < δ(x), f(x) >
n→∞
工數一般不會提及(2)式 (複變會提到一些這方面的概念,但講很少)
大多是直接把 (1) 式當定義出發
但那樣做後續會出很多問題
因為 δ(x) 它算是一種 operator , 不能直接當尋常的函數做四則運算
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<1> d ┌ 1 if x>0
先證明 δ(x) ≡ ──u(x) , where u(x) = │ undefined if x=0
dx └ 0 if x<0
pf:
u(x) - u(x-ε)
考慮 δ_n(x) = δ_ε(x) = ─────── , where ε=1/n
ε
則 <δ_n,f> = <δ_ε,f>
∞ u(x) - u(x-ε)
= ∫ f(x)*──────── dx
-∞ ε
1 ε
= ── ∫ f(x) dx
ε 0
1 ε
= ── F(ε) , where F(ε) = ∫ f(x) dx
ε 0
所以 lim <δ_n,f> = lim <δ_ε,f>
n→∞ ε→0
F(ε) - F(0)
= lim ─────── (Note that F(0)=0)
ε→0 ε
= F'(0)
= f(0) by FTCT
u(x) - u(x-ε)
因此 δ(x) ≡ lim ─────── = u'(x)
ε→0 ε
<2>
∞ (n) n (n)
證明 ∫ f(x)δ (x) dx = (-1) f (0)
-∞
pf:
這裡我就直接偷懶
δ(x+ε) - δ(x)
< δ'(x) , f(x) > ≡ lim < ────────, f(x) >
ε→0 ε
<δ(x+ε),f(x)> - <δ(x),f(x)>
= lim ───────────────
ε→0 ε
f(-ε) - f(0)
= lim ───────
ε→0 ε
= -f'(0)
(n) n (n)
然後再用數學歸納法即可推得 < δ (x) , f(x) > = (-1) f (0)
if f(x) n 階可微
嚴格寫當然得把 part <1> 那部分的證明流程搬進來
或是證明上述的運算規則會成立
至於平移部分 ( f(x)δ(x-k) ≡ f(k)δ(x-k) )
原po應該有辦法自己 handle (跟 part <1>的證明方式一樣)
所以那塊的證明我就省去不打了 XD
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