推 barnard1121:就是這個 感恩~~~~ 10/20 03:11
※ 引述《barnard1121 ()》之銘言：
: 想請問
: 若有4個高斯變數 X1 , X2 , X3 ,X4
: 其E[X1*X2*X3*X4]= E[X1*X2]*E[X3*X4] + E[X1*X3]*E[X2*X4] + E[X2*X3]*E[X1*X4]
: 老師說HINT 用MGF證 請問怎麼證呢? 但想了很久 還是...
: 請高手解答~~~
---
可以查一下 Isserlis' thm. , 還蠻實用的一個定理
但前提是 X1、X2、X3、X4 為 jointly Gaussian
且 X = [X1,X2,X3,X4]^T ～ N( 0,Σ) (zero mean vector)
---
T
(1/2)λ Σλ
考慮 X 的 MGF: θ_X(λ) = e
其中 λ = [ λ_1,λ_2,λ_3,λ_4 ]^T
4
δ θ_X(λ)
則 E[X1*X2*X3*X4] = ────────────── │
δλ_1 δλ_2 δλ_3 δλ_4 λ = [0,0,0,0]^T
那個偏微分不難算，只是列式很煩而已
我列前三個偏微結果，剩下原po可以自己算:
( Note: 以下的符號中 , Σ_ij 代表 Σ 在 (i,j) 上的 entry )
δ θ_X(λ) 4
────── = θ_X(λ)* Σ (Σ_i1*λ_i)
δλ_1 i=1
2
δ θ_X(λ) 2 4
─────── = θ_X(λ)*[ Π Σ (Σ_ij*λ_i) + Σ_12 ]
δλ_2 δλ_1 j=1 i=1
3
δ θ_X(λ) 3 4
────────── = θ_X(λ)*{ Π Σ (Σ_ij*λ_i)
δλ_1 δλ_2 δλ_3 j=1 i=1
4
+ Σ [Σ_o1,o2 * Σ (Σ_i,o3)*λ_i ] }
oεS i=1
where S = { [123]、[231]、[312] }
所以 E[X1*X2*X3*X4]
= Σ [Σ_o1,o2 * Σ_4,o3]
oεS
= Σ_12*Σ_43 + Σ_23*Σ_41 + Σ_31*Σ_42
= E[X1*X2]*E[X4*X3] + E[X2*X3]*E[X4*X1] + E[X3*X1]*E[X4*X2]
------------
或是也能利用 multivariate taylor expansion 的概念
θ_X(λ) 對 λ=[0,0,0,0]^T 展開
其 λ1*λ2*λ3*λ4 所對應的係數即為 E[X1*X2*X3*X4]
T
(1/2)λ Σλ ∞ 1 T n
又 θ_X(λ) = e = Σ c_n * ── (λ Σλ)
n=0 2^n
T 2
不難觀察到 λ1*λ2*λ3*λ4 的 term 只會由 (λ Σλ) 這項決定
寫成 sigma-inex form 會是:
4 4 4 4
[ Σ Σ Σ_ij*λ_i*λ_j ] *[ Σ Σ Σ_ij*λ_i*λ_j ]
i=1 j=1 i=1 j=1
把所有跟 λ1*λ2*λ3*λ4 的 term 全部 collection 起來
會得到 (Σ_12+Σ_21)*(Σ_43+Σ_34)
+ (Σ_23+Σ_32)*(Σ_41+Σ_14)
+ (Σ_31+Σ_13)*(Σ_42+Σ_24)
= 4*(Σ_12*Σ_43 + Σ_23*Σ_41 + Σ_31*Σ_42)
再把 taylor 的係數項 c_2*(1/4) = 1/4 考慮進去即為所求
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139