Re: [理工] [複變] 求殘值化簡問題

[endlesschaos (佐佐木信二)]

※ 引述《akisora (用熱血彌補青春！)》之銘言：
: 最近在讀複變　由於是自己讀所以遇到一些瓶頸Orz
: 有些問題想請問一下各位
: http://i.imgur.com/I0PhU.jpg
: 此題中紅線圈起來的部分　要怎麼寫成呢？

                        z
               1       e
   lim   (z - ---) ----------      分子分母同時趨近於 0，使用L'Hospital Rule
  z→1/2       2    cos(πz)

            z           z
           e  + (z-1/2)e
=  lim    ----------------      分子為兩項相乘，因此有前微後不微和前不微後微
  z→1/2     -πsin(πz)


       1/2
      e
= - --------
       π


由此可知

一階 pole 的情況可直接視為將分母微分後分子直接代值

因為在前不微後微的那一項代入 z → z0 一定會為 0

等同於沒有乘 (z-z0) 分子代值後的結果

除此之外

L'Hospital 的微分也不一定要全部相乘項乘算完後才能微分

可以直接微掉使其為 0 的項次再跟不為 0 的項相乘即可



: 原本我的想法是展Laurent's Series
: 可是分母項展開後是
:                   2n                2
: ∞      n    (πz)             (πz)
: Σ　(-1)   ----------  = 1 -  -------- + 點點點　　的形式
: n=0          (2n)!                2
: 分子也為無窮級數　前面還要乘一個極點抓極值的(z-1/2)項
: 這樣要怎麼抓出z^-1的係數呢？
: 還是說有其他方法！？
: 謝謝大家Orz

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.34.133.34
※ 編輯: endlesschaos    來自: 114.34.133.34        (10/23 01:00)
推 akisora:謝謝你!!!!!!!!　我今天讀複變的後面讀到了　如果是一階的
→ akisora:pole的話　就直接對(z-那個一階pole)微分　再代z=pole的值
→ akisora:不過我自己讀還是讀不懂為什麼是直接對分母那項微分　還想
→ akisora:該不會是從微分的定義的倒數之類的 (什麼鬼　都忘了0/0是
→ akisora:用L'Hospital了　謝謝T^T