推 handsboy:卸卸! 我也算出來了 感恩 10/23 01:31
※ 編輯: ocean5566 (61.60.206.77), 06/02/2017 01:10:53
X"(x) -Y"(y)
── = ─── = λ
X (x) Y (y)
若λ>0, λ=k^2,
帶入可得
X=c1*coshkx+c2*sinhkx
Y=c3*cosky+c4*sinky
邊界條件：
1.U(x,0) = 0
2.U(x,b) = f(x)
dU│ dU│
3. ─│ = 0 4.─│ = 0
dx│x=0 dy│x=a
根據1.可知c3=0 根據3.可知c2=0 根據4.可知c1*coshka=0
這裡找不到k值使得coshka=0 為了符合BC, c1必須=0
X=0+0=0
U=X*Y=0*Y=0
沒有非零解 不是我們想知道的
若λ=0
可解出
X=c1+c2*x
Y=c3+c4*y
根據1.可知c3=0 根據3.可知c2=0 因此U=c1*c4*y 根據4. c1*c4=0
X*Y=0 沒有非零解 一樣不是我們想知道的
若λ<0 λ=-k^2
X=c1*coskx+c2*sinkx
Y=c3*coshky+c4*sinhky
根據1.可知c3=0 根據3.可知c2=0
根據4可知 k=(2n-1)*pi/2a (當然 我們可以選取c1=0 但我們只想知道不為0的解)
所以Un=X*Y=An*coskx*sinhky
為了更具有一般性 U=sigma An*coskx*sinhky
根據2.可知An=2/(a*sinhkb) 積分 (0~a) f(x)*coskxdx
※ 引述《handsboy (夠夠拋兒瑞久)》之銘言：
: 題目是 U_xx + U_yy = 0
: U(x,0) = 0 , U(x,b) = f(x)
: dU│ dU│
: ─│ = 0 , ─│ = 0
: dx│x=0 dy│x=a
: 一開始也是令 U(x,y) = X(x)Y(y) 代回可得
: X"(x) -Y"(y)
: ── = ─── = -λ
: X (x) Y (y)
: 再來討論 λ> 0 λ=0 λ< 0 的情況
: 可是在分解邊界的時候
: U(x,0) = X(x) Y(0) = 0 ==> Y(0) = 0
: U(x,b) = X(x) Y(b) = f(x) ==> Y(b) = f(x)
: dU│
: ─│ = X'(0) Y(y) = 0 ==> X'(0) = 0
: dx│x=0
: dU│
: ─│ = X(a) Y'(y) = 0 ==> ???? 這裡就不知道該怎麼辦了
: dy│x=a
: 就算知道是 X(a) = 0 或 Y'(y) = 0
: 接下來也不知道怎麼著手
: 是兩種情況都要討論嗎
: 還是有可能是題目有誤?
: 不知道有沒有高手可以交一下
: 感恩!!
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