Re: [理工] 奇妙的矩陣

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《papaya125 (臣臣臣)》之銘言：
: [-a1 -a2 -a3 -a4 ]
: [ 1   0   0   0  ]  show that 特徵方程式 is given by
: [ 0   1   0   0  ]         4      3      2
: [ 0   0   1   0  ]       入 + a1入 + a2入  +a3入 + a4
: 他給答案了 應該是要秀出他的算式
: 我實在想不透有甚麼方法可以變這樣
: 四階恰似沒有公式解，用降階也錯，高斯哥法移來移去還是看不出個鬼
: 按照四階一些特殊矩陣例子，來看也看不出有可以解他的地方
: 還望版友指點迷津~!!
: 1點想到2點了orz
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    用降階算會錯應該是原po在計算上有哪個地方出問題


    in general

                 ┌ -a_1  -a_2  -a_3  ...  -a_(n-1)  -a_n ┐
                 │   1     0     0   ...    0         0  │
    考慮  A(n) = │   0     1     0   ...    0         0  │
                 │   0     0     1   ...    0         0  │
                 │                  .....                │
                 └   0     0     0   ...    1         0  ┘


    則  det( A(n) - λI )

                           n             1+i
     = (-a_1 - λ)*M_11 +  Σ (-a_i)*(-1)    *M_1i    ____(1)
                          i=2


                  (1) (2)  (3)      (i-1) (i+1) (i+2)   (n-1) (n)

                │ 1  -λ   0  ...    0     0     0  ...  0    0  │   (2)
                │ 0   1   -λ ...    0     0     0  ...  0    0  │   (3)
    其中        │ 0   0    1  ...    0     0     0  ...  0    0  │   (4)
                │            .....                 .....         │
         M_li = │ 0   0    0  ...    1     0     0  ...  0    0  │   (i)
                │ 0   0    0  ...    0    -λ    0  ...  0    0  │  (i+1)
                │ 0   0    0  ...    0     1    -λ ...  0    0  │  (i+2)
                │            .....                 .....         │
                │ 0   0    0  ...    0     0     0  ... -λ   0  │  (n-1)
                │ 0   0    0  ...    0     0     0  ...  0   -λ │   (n)

                     n-i
              = (-λ)

                                   n-1    n          i       n-i
    因此 (1) 式 = (-a_1 - λ)*(-λ)    +  Σ a_i*(-1)  *(-λ)
                                         i=2

                      n    n         n-1        n   n        n-i
                = (-1) *(λ  + a_1*λ   ) + (-1)  * Σ a_i*λ
                                                   i=2

                      n   n        n-i
                = (-1)  * Σ a_i*λ        , 其中 a_0 = 1
                         i=0


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  [另解]

        假設  f(n) = det( A(n) - λI )

        則根據第 n 條 column 降階可得到一 recurrance relation:

                                     n
        f(n) = ┌ (-λ)*f(n-1) + (-1) *a_n    if  n>1
               │
               └ -a_1-λ                     if  n=1

                                        n
        所以  f(n) = (-λ)*f(n-1) + (-1) *a_n

                          2                    n-1               n
                   = (-λ) *f(n-2) + (-λ)*(-1)   *a_(n-1) + (-1) *a_n

                   = ...

                          n-1            n   n        n-i
                   = (-λ)   *f(1) + (-1)  * Σ a_i*λ
                                            i=2

                          n-1                 n   n        n-i
                   = (-λ)   *(-a_1-λ) + (-1)  * Σ a_i*λ
                                                 i=2

        跟前面一樣，就不整理了



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    ps:
                              n           n-i
       若想套  det(A-λI) =   Σ c_i*(-λ)      ,  c_0 = 1
                             i=0
       的公式也可以

       只是  c_i 會有  C(n,i) = n!/[i!(n-i)!]  個 i by i 行列式值相加

       還得說明那些 term 會等於0 , 寫起來很麻煩

       故不建議從這地方下手


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◆ From: 140.113.211.139
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.139      (11/03 08:47)
推 mp8113f:推 <( _ _ )>
推 papaya125:有心人 <( _ _ )>   感激不盡
推 papaya125:我用的是快速降階法，拉普拉斯的我等等在踹一次!!!
→ doom8199:快速降階法 @@? , 可以說一下大致作法嗎?
→ papaya125:不好打耶  超凡公式手冊(小本那個)118頁~~~
→ papaya125:我打一篇你看看囉~~當作回報XD
→ doom8199:喔喔好阿，感謝XD   (是以 block為一個單位在降階嗎?)
推 papaya125:打好哩 請看~~~
推 akisora:wow 直接列一般式 高手!!