作者breezeandy (breezeandy)
看板Grad-ProbAsk
標題[理工] [工數] 關於高階微分方程
時間Thu Nov 3 11:15:31 2011
前情提要:
變係數高階微分方程
有一降階法
方法是先觀察出一解y1(x)
然後令y2(x)=u*y1
接下來將y2(x)微分一次到數次不等
帶回原ODE求解u
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問題-共有三個疑問:
遇到一非齊次ODE
xy''-xy'+y=x^2
書本上的解答解說
先觀察出一解y1(x)=x
然後令y2(x)=u*y1=u*x
我的第一個疑問有點沒意義的感覺QAQ
但是還是想請教
y1(x)=x不是齊次解嗎
這樣代進去 等號右邊(x^2)被強迫為零 心裡總覺得怪怪的
還是就把齊次解當解 直接算下去就好了呢(不是特解或通解看起來比較符合ODE嗎= =)
第二個問題
那如果有一天又遇到非齊次變係數高階ODE
但觀察出的是特解
那也是照著算嗎?
第三個問題是最想問的ˊˇˋ
關於此ODE
書上的解答表示:
利用降階法同時直接得到了特解，真是一石二鳥也。
(因為他算y2同時算出了 齊次解的y2加上一特解 即y2=(含未知數的齊次解+特解) )
問題來了
那為何之前解
常係數高階ODE
假設得到yh=c1*cosx+c2*sinx
不直接令y1=cosx
然後用一樣的方法令y2=u*y1
不就可以直接得到特解?
何必用常係數時的變異係數法(意同降階法)令yp=u1*y1+u2*y2
然後還要forcing condition
解一堆聯立方程式或是朗斯基
我照此試了一題常係數
但沒成功QAQQ
懇請高手賜教
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◆ From: 111.249.203.97
※ 編輯: breezeandy 來自: 111.249.203.97 (11/03 11:16)
推 mp8113f:你上面說的沒錯,這種非齊次的ODE有一種解法就是先假設齊性 11/03 11:19
→ mp8113f:下去找齊性解,之後在另y=u(x)*y1 帶回原式子找解 11/03 11:20
→ mp8113f:但並不是每個式子都能因此解出來,有時候反而複雜化積不出 11/03 11:20
→ mp8113f:答案,通常令y=u(x)*y1只會將式子複雜化,並不是萬能 11/03 11:21
→ mp8113f:而若你觀察的是特解,不能用此法帶回原式找通解,只能齊性解 11/03 11:21
→ mp8113f:才可以這樣做 11/03 11:22
推 mp8113f:你可以嘗試自己用此法回去做二階線性ODE會發現多此一舉 .. 11/03 11:25
→ mp8113f:另外不管齊性或非齊性都包含齊性解,但是包含特解的卻只有 11/03 11:25
→ mp8113f:非齊次,所以並不能以特解反推回去找到通解,相反可以從齊 11/03 11:26
→ mp8113f:性解連本帶利帶回原式找通解 11/03 11:26
懂了! 超感謝你精湛的講解ˊˇˋ
※ 編輯: breezeandy 來自: 111.249.204.231 (11/03 12:17)
推 doom8199:我覺得若找到一組特解 y1後， 還是可以令 y = u(x)*y1 11/03 12:21
→ doom8199:下去降階，只是降階後的型態要稍微做一下調整 11/03 12:21
但我剛找了一題試了一次並沒有成功
況且我在書上並沒有看到關於猜特解的例子
降階法相關都是舉猜齊次解做教學(有可能只是我沒看到)
如要像您這樣說 還請詳細舉例講解
※ 編輯: breezeandy 來自: 111.249.204.231 (11/03 12:29)