Re: [理工] 離散-代數

[mqazz1 (無法顯示)]

※ 引述《SiriusCloud (古月小楓)》之銘言：
:                               2     2      2
: 若{G,*}為一群，若且唯若(a * b)   = a   *  b
: 所有的a,b屬於R , 則 G為交換群，試證之。
: (P.F)
:            2     2   2
: →: (a * b)  =  a * b  =>  a * b * b * a
:             2                       2   2
: 因為 (a * b) = (a * b) * (a * b) = a * b
:    -1                    -1    -1     2    2    -1
: =>a  *  a * b * a * b * b   = a    * a  * b  * b
: =>b * a = a * b 為交換群


直接套定義證就可以了

(a*b)^2 = a^2 * b^2

(a*b)*(a*b) = a*a*b*b

a*b*a*b = a*a*b*b

因為(G,*)是group, 所以inverse存在

a^(-1)*a*b*a*b*b^(-1) = a^(-1)*a*a*b*b*b^(-1)
~~~~~~~~     ~~~~~~~~   ~~~~~~~~     ~~~~~~~~

b*a = a*b, 得證

: ------------------------------------------------(1)
:                           2   2     2
: ←: G 為交換群 => (a * b ) = a  *  b
: (a * b) = (a * b) * (a * b) = a * (b * a) * b
:                                          2     2
: = a * (a * b) * b = (a * a) * (b * b) = a  *  b
: ------------------------------------------------(2)
: 我的向右證明是
:                   -1
: 因為為群 let b = a
:             2    2            2
: (a * a ^ -1)  = a  *  (a ^ -1)  = e * e = e
:             2           2    2
: (a ^ -1 * a)  = (a ^ -1)  * a   = e * e = e
:           -1    -1
: 所以 a * a  =  a   * a  = e 所以為交換群

如果你設 b = a^(-1) 可能有些問題

因為題目沒有說b是a的inverse

: ------------------------------------------------
: 以上(1)的證明我看不懂，可以幫忙解釋嗎?
: 跟我的證明這樣可以嗎?


--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.118.110.186
推 SiriusCloud:我的意思是 題目不是說 群嗎？ 那我b的a反元素這樣子
→ SiriusCloud:可以嗎？ 群裡面有包含反元素阿~
推 TNC:不行!因為a的反元素不一定會是b，這樣只證明了特例
→ TNC:其實不用想太多就把反元素寫成a^-1就好
推 SiriusCloud:也就是說 不用特定去另b 就寫a存在反元素a^-1就可以嗎
→ mqazz1:恩
推 TNC:是的
推 SiriusCloud:多謝!!