[理工] 工數-正交矩陣

[vacfann (別忘了航太的夢想)]

這題小弟想了一個晚上 實在是想不出來中間的某些過程, 故上來請益版上的高手...

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compute the inverse of A = -   1  1  1  0    -    (99交大電控)
                           -   1  0 -1  1    -
                           -   1 -1  1  0    -
                           -   1  0 -1  -1   -
                           --               --

sol:(喻老5th版的書)

Step1     令 A=[ 2v1 √2v2  2v3  √2v4 ]

 其中          -   -            -    -         - 1  -           - 0  -
        v1=1/2 - 1 -  v2= 1/√2 - 1  -  v3=1/2 - -1 -  v4=1/√2 - 1  -
               - 1 -            - 0  -         - 1  -           - 0  -
               - 1 -            - -1 -         - -1 -           - -1 -
               - 1 -            - 0  -         -    -           -    -

(上面的目的,我想應該是為了換成一組正規化正交集合吧Orthonormal set)

然後 我把他想成 S=[ v1 v2 v3 v4 ] ...>這樣S應該就是一個正交矩陣了對吧

老師繼續寫：

step2

    -1                 -         T  -     1/4  1/4 1/4  1/4
由 A   A = I  可得 -1  - 1/2   v1   -
                   A = -         T  -  =  1/2   0  -1/2  0
                       - 1/√2 v2   -
                       -         T  -     1/4  -1/4 1/4 -1/4
                       - 1/2   v3   -
                       -         T  -      0    1/2  0   -1/2
                       - 1/√2 v4   -
                       -            -

上面那步驟2 我就看不懂怎麼變得了 ＝＝a
       -1
而且, A  變成了一個正規化正交矩陣

     但原本 A 並非正交矩陣吧？！ ....這點我也覺得怪怪的

還有step1 時,令 A=...v1 ...v2  -->v1 v2 前面跟的係數 是不是就是取原本A的行向量

                                                     的norm  對吧
另一個問題是 令 A＝ 2v1
                 -1                               T
和後來求得      A =1/2v1  前面的係數是為了湊成 1 v .v = 1嗎


以上各點可否說明一下嗎, 大大感謝



假設A為正交矩陣的話,                                -1   t
依照zill課本的定義： n*n matrix A is orthogonal if A  = A

那就直接把原本的A轉置不就是答案了嗎？ 幹麼還要這麼多麻煩的步驟呢？？

所以, 我認為 A 應該不算正式的正交矩陣吧？！

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 101.13.32.62
推 xu3wu0h96:原始的A就是正交矩陣吧 沒有歸一而已
→ vacfann:對,原本的A有符合行向量彼此正交,但沒有規一單位化,可是
→ vacfann:正交矩陣的其一定義,不是要各行向量平方和為1嗎？
→ vacfann:我看zill的原文書上也寫說,要行向量X為Orthonormal..
→ vacfann:也就是 應該要 行向量為正規化向量,才是正交矩陣的定義吧
→ xu3wu0h96:A 為orthogonal矩陣  你令的S 就是Orthonormal
※ 編輯: vacfann         來自: 101.13.32.62         (11/10 03:07)
→ xu3wu0h96:若要使用A^t=A^-1的情況下是要在Orthonormal之下
→ xu3wu0h96:不過原文書好像有些都直接稱為orthogonal 囧
→ xu3wu0h96:Step1中 V1 V2 V3 V4是A的歸一正交basis 可組成Row(At)
→ xu3wu0h96:因此令At 為 v1t v2t...的線性組合 去跟A找到係數 使
→ xu3wu0h96:A^tA=I 就可以了吧@@ 我的想法是這樣啦...
→ xu3wu0h96:完了 頭昏腦脹 不知道再說啥了 請高手詳解QQ
推 harrypotter2:orthogonal矩陣要行向量成Orthonormal
→ vacfann:請問xu大,你說A^t=A^-1要orthNormal才能用,是在哪本工數
→ vacfann:書上看到的呢? 我也想去翻翻..我看到的幾乎都是orthgonal
→ vacfann:另外,請問harry大,這樣說來這也就是正交矩陣的定義囉～
→ vacfann:那題目中的A 也就不算是正交矩陣了 對吧～行向量非歸一..
推 harrypotter2:恩 這題的A不是orthogonal Matrix
→ sneak: A 為orthogon https://daxiv.com