→ check1225:謝謝原po 剛剛試過note2的做法也會了 謝謝 11/27 15:40
※ 引述《check1225 (查克)》之銘言：
: 試證明：
: ∞
: ln(x^2 + 1)
: ∫ ----------------- dx = πln 2
: x^2 + 1
: 0
: 請板上的高手幫我解一下這題
: 因為我一直推不出題目給的答案πln 2
: 麻煩高手解答了!!
: 謝謝
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ln(z + i)
考慮 f(z) = ─────
z^2 + 1
且定義 branch cut 為 straight line from z=-i to z=-∞i
所以考慮以下 contour or path:
c1: |z|=R > 1 from arg(z)=0 to arg(z)=π
c2: straight line from z=-R to z=R
c: c1+c2
∫ f(x) dx + ∫ f(z) dz = ∮ f(z) dz
c1 c2 c
ln(2i)
= 2πi* ────
2i
= π[ln2 + i(π/2)]
當 R→∞ , ∫_c2 f(z) dz → 0
∞ ln(x + i) π^2
所以 ∫ ───── dx = π*ln2 + ──i
-∞ x^2 + 1 2
πi
∞ ln(x + i) 0 ln( e x + i ) πi π^2
=> ∫ ───── dx + ∫ ──────── e dx = π*ln2 + ──i
0 x^2 + 1 ∞ x^2 + 1 2
∞ ln√(x^2+1) + g(x) ln√(x^2+1) + πi-g(x) π^2
=> ∫ ───────── + ─────────── dx = π*ln2 + ──i
0 x^2 + 1 x^2 + 1 2
-1
其中 g(x) = i*tan (1/x)
∞ ln(x^2 + 1) + πi π^2
=> ∫ ───────── dx = π*ln2 + ──i
0 x^2 + 1 2
∞ ln(x^2 + 1)
因此 ┌ ∫ ────── dx = π*ln2
│ 0 x^2 + 1
│
│ ∞ 1 π
└ ∫ ───── dx = ──
0 x^2 + 1 2
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Note:
lim ∫ f(z) dz = 0 的證明若不會我在補打
R→∞ c2
Note2:
ln(z^2 + 1)
也可以直接考慮 f(z) = ──────
z^2 + 1
branch cut 為 straight line from z=i to z=-i
然後 contour 繞一整圈下去做
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