推 SS327:謝謝~~ 11/11 21:03
→ SS327:我少補L跟D對角線必需為1@@ 11/11 21:04
→ SS327:A要非奇異阿@@~~回家再好好看 11/11 21:06
推 SS327:我會嚕~謝謝 我沒看到老師敘述裡面要正定 11/12 00:16
→ SS327:J大正定的條件就是det(A)≠0?? 11/12 00:17
→ SS327:D大才對@@ 11/12 00:17
※ 引述《SS327 (土豆人)》之銘言：
: http://tw.myblog.yahoo.com/jw!czGcZaOXFxAHNbmSZaS0fOol/photo?pid=16
: L=上三角矩陣
: U=下三角矩陣
: D=對角矩陣
: 請問一下為什麼"實對稱矩陣"L會等於U的轉置啊??
: 可以從紅色看出來嗎???
: 幫幫忙嚕~~
這個敘述不會成立吧
隨便舉個反例:
┌ 1 1 1 ┐ ┌ 1 0 0 ┐┌ 1 0 0 ┐┌ 1 1 1 ┐
A = │ 1 1 1 │ = │ 1 1 0 ││ 0 0 0 ││ 0 1 0 │ = LDU
└ 1 1 1 ┘ └ 1 1 1 ┘└ 0 0 0 ┘└ 0 0 1 ┘
T
A = A , 且 L 和 U 的對角線都為 1 , 但 L≠U
必須要加上 det(A)≠0 , 且 L 和 U 的主對角線都為 1
拆法才會是唯一 ( 前提是 A 可以拆成 LDU )
----
[Lemma]
若 det(A)≠0 , 且 A = (L1)D(U1) = (L2)D(U2)
則 (L1,U1) = (L2,U2) (唯一性定理)
pf:
因為 det(A)≠0 , L1、L2、U1、U2、D 皆可逆
所以 (L1)D(U1) = (L2)D(U2)
-1 -1
=> D(U1)(U2) = (L1) (L2)D
-1 -1
由三角矩陣的一些性質可推得 (U1)(U2) = (L1) (L2) = I
代表 (L1,U1) = (L2,U2)
[thm.] T
若 det(A)≠0 、 A = A , 且 A = LDU
T
則 L = U if L、U 的主對角線皆為 1
pf:
T T T
LDU = A = A = U DL
T T
由唯一性定理 (Lemma) 可知 (L,U) = (U , L )
T
即 L = U
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