[理工] [矩陣] 特徵值性質

[akisora (用熱血彌補青春！)]

96年交大電控的考題

A∈ R nxn 的矩陣 A^2 = A

特徵值為 0 及 1

Q：0為A的一個特徵值　其代數重數為 k 小於等於 n

   問rank(A)

A：特徵值0的幾何重數為 k 即 n-rank(A-0I) = k　所以 rank(A) = n-k


想問為什麼會知道代數重數跟幾何重數相同呢？

代數重數不是特徵值代進det(A-λI)後　看重根幾次嗎？

謝謝大家

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.255.44.142
推 gskman:A^2=A<=>可對角化<=>am=gm
推 wheels:重點是在A是idempotent，有很多定理可以用，包括可對角化和
→ wheels:只有0和1兩個eigenvalue，還有rank(A)為1的代數重數等。
→ wheels:g大的第一個imply只有左到右對喔，提醒一下XD
推 gskman:阿 對喔...只有一邊啦XD
→ akisora:喔喔!!　原來如此!!　(筆記筆記._.ψ
→ akisora:那麼想再問一下　特徵值有0　是不是跟可對角化沒關係呢？
→ akisora:剛剛看網頁寫到　判別可對角化最直觀的看法是n乘n矩陣找到
→ akisora:n個線性獨立的向量　則為可對角化　不過如果有0的特徵值
→ akisora:就不會是full rank　所以就不會有n個線性獨立的向量
→ akisora:不過此題有0的特徵值　但是為可對角化的矩陣
→ akisora:所以總結一下　可對角化還是要看λ的代數重數等於幾何重數
→ akisora:跟特徵值是不是0無關　這樣的敘述是否正確呢!?
推 harrypotter2:可對角化跟特徵值為不為0無關
→ akisora:謝謝你m(_"_)m
→ sneak: n個線性獨立的向量　則 https://daxiv.com