Re: [理工] [積分] 請教一題積分

[endlesschaos (佐佐木信二)]

※ 引述《Crazycraze (Lumi)》之銘言：
: 在靜電學中，欲求圓錐狀的面電荷分佈之電位函數，碰到以下積分
: http://ppt.cc/EBR0  ； h為常數 。
: 希望高手可以指導計算過程或提示作法，謝謝 ^^


                              r
原式 = ∫------------------------------------------- dr
          {[r - (√2 /2) * h]^2 + (1/2) * h^2}^(1/2)


        √2
令 r - -----h = v
         2

                v + (√2/2)h
原式 = ∫--------------------------- dv
          [v^2 + (1/2) * h^2]^(1/2)



         1                      1       2
令 v = ---- h tan t  =>  dv = ---- h sec t dt
        √2                    √2


          (1/√2) * h * tant + (√2/2) *h       1        2
原式 = ∫---------------------------------- * ----- h sec t dt
                 (1/√2) * h * sect            √2

         1
     = -----h∫(sect tant + sect) dt
        √2

         1
     = -----h[sect + ln(tant + sect)] (解答內似乎也不考慮積分常數)
        √2

                  2   2                           2   2
         1     (2v + h)^(1/2)        √2 v     (2v + h )^(1/2)
     = -----h{---------------- + ln[------- + -----------------]}
        √2           h                h               h

               2                                     2   2
         2    h              1          √2 v     (2v + h )^(1/2)
     = (v  + ----)^(1/2) + -----h * ln[------- + ------------------]
              2             √2           h              h

         2             2
     = (r  - √2 hr + h )^(1/2)

           1                r                2             2
       + -----h * ln[√2 * --- - 1 + √2 * (r  - √2 hr + h )^(1/2)]
          √2               h


要嘛就是我算錯

要嘛就是解答有問題

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.44.41
推 Crazycraze:感謝e大^^，因為是定積分，所以沒有常數。
推 Crazycraze:檢查後發現ln函數中的後項少乘了1/h  (最末式)
→ Crazycraze:補上後，解答的答案差了積分常數 -(h/ √2 )ln( √2h)
→ Crazycraze:此常數跟ln項合併後，就是e大的答案了 =]
→ Crazycraze:和e大的合併後，會是解答上的形式。這樣說才對。