[理工] 離散 數論

[SiriusCloud (古月小楓)]

Let a,b,c,d be positive integers.Assume a ^ 3 = b ^ 2

and c ^ 3 = d ^ 2 . If c - a = 25, what are a,b,c,d?

(answer)

因為 a ^ 3 = b ^ 2 且 c ^ 3 = d ^ 2 , 所以 a ,c 皆為完全平方數
                                            ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ why?


假設 a = r ^ 2 , c = s ^ 2 , for some r,s 屬於 Z+

因為 c - a = 25 , 所以 s ^ 2 - r ^ 2 = 25

-->(s + r )( s - r ) = 25 = 5 ^ 2

因為 s + r 不等於 s - r  所以 s + r = 25 , s - r = 1

--> s = 13 , r = 12

--> a = r ^ 2 = 12 ^ 2 , b = a ^ (3/2)

    c = s ^ 2 = 13 ^ 2 , d = c ^ (3/2)

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◆ From: 114.41.128.136
→ metalalive:因為 a^3=b^2. 也就是存在一個 k屬於正整數,使得
→ metalalive:a=k^2 且 b=k^3 (因為 a^3=b^2)
→ metalalive:所以才說a是完全平方數
→ SiriusCloud:不好意思 還是不懂 為什麼會存在一個k 使得他們變成
→ SiriusCloud:那樣子？  然後變成完全平方數 ?
→ metalalive:我是先假設 a=k^2 且 b=k^3 , 這樣才滿足
→ metalalive:a^3 = k^(2*3) = k^(3*2) = b^2 才會成立
→ sm008150204:因為a=b^(2/3),又a是整數,所以(b^2)^(1/3)是整數
→ sm008150204:這樣就能得到b=k^3
推 wheels:a和c質因數分解的係數一定要被2整除，所以一定是完全平方數
→ SiriusCloud:ok 我懂了  謝謝各位~
→ sneak: a^3 = k^(2* https://daxiv.com