[理工] 線代 冪零矩陣

[RoyalCh (不想當小螺絲釘！)]

A為一冪零矩陣
如果A^k=0
試證I-A為nonsingular matrix

解法是

I-A^k=I=(I-A)(I+A+A^2+...+A^K-1)

用後面兩式來看的話
變成I=(I-A)(I+A+A^2+...+A^K-1)

可是我想不太通為什麼I+A+A^2+...可以直接inverse到左邊
使其變成I-A的反矩陣

I+A+A^2+...為什麼一定是滿秩的呢?
問題有點奇怪..煩請解答..謝謝

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.11.43
→ itsforte:因為 B*C=I,  Rank(I) ≦ min {Rank(b), Rank(c)}
→ RoyalCh:謝謝樓上
推 wheels:這題我是用因為A:nilpotent，所以A的所有eigenvalue都是0，
→ wheels:所以I-A的所有eigenvalue都是1，所以I-A沒有0 eigenvalue，
→ wheels:故I-A:nonsingular。不過這種解法黃子嘉都會說用定理不行..
推 AIdrifter:如果這樣 可能還需要再說明eigenvalue!=0時 可逆吧
→ AIdrifter:雖然都背起來了 但是畢竟結果也是導出來才來用的
→ gskman:幹麻這麼麻煩 看成兩個matrix相乘I=A*B 則 B為A的右反,nxn
→ gskman:的矩陣就找到唯一的矩陣啦 除非你要證唯一 但我想這題重點
→ gskman:不是在這
→ gskman:上面用定理可以阿 祇是都需要證明而已XD
→ metalalive:我也是用Det(I-A)!=0時 來表示I-A可逆, 不過有個疑問
→ metalalive:想請教, 直接寫 I+A+A^2+... = (I-A)^-1,這樣可以嗎
→ metalalive:3Q
→ wheels:可以啊，它加完也是一個矩陣。
→ sneak: nonsingular https://daxiv.com