Re: [商管] [統計] mean square error

[goshfju (Cola)]

※ 引述《Byrd (Byrd)》之銘言：
: 交大財金甲100年 統計第二題
: Xi~N(μ,σ^2)       i=1,2,3...n
:       n    _
: S^2 =Σ(Xi-X)/(n-1)
:      i=1
: (a)find the mean square error of S^2 for the estimation of σ^2
: (b)fied the mean square error of S for the estimation of σ
: ------------------------------------------------------------
: a.
: 我的解法直接帶入MSE(S^2)=E[ (S^2-σ^2)^2 ]
: 但是算到後來算不出漂亮的答案 囧

MSE(θ_hat) = E(θ_hat-θ)^2 = Var(θ_hat)+[Bias(θ_hat)]^2
其中Bias(θ_hat)=E(θ_hat) - θ為偏誤
樣本變異數為不偏的: E(S^2)=σ^2 , 所以不會有偏誤
所以MSE(S^2)=Var(S^2)
可利用卡方分配來算
Q=(n-1)S^2/σ^2 ~ χ^2(n-1)
Var(Q)=2(n-1)=((n-1)^2/σ^4)Var(S^2)
MSE(S^2)=Var(S^2)=2(n-1) / ((n-1)^2/σ^4) = 2σ^4/(n-1)
: b.
: 看起來好像比較簡單
b. 反而難
因為你現有的工具只有卡方分配
要想辦法求出 E(S) 才能繼續算
卡方其實是Gamma分配
Q ~ χ^2(n-1) = Γ(α=(n-1)/2,λ=1/2)
求 E(√Q) = (√(n-1)/σ) * E(S) = ∫√qf(q)dq = ... <= 算出來可得 E(S)
所以你要會Gamma積分
: 但是同樣在最後陷入瓶頸 囧
: 請問這題如何寫式子比較好? 是需要甚麼技巧嗎?
: 感謝!!

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◆ From: 220.132.78.31
→ goshfju:建議機率模型跟抽樣分配那兩章看熟 這樣後面都不用怕~
推 Byrd:感謝! 我之前還一時糊塗想說偏誤是多少 囧
→ Byrd:b部分再用 MSE(S)=Var(S)=E(S^2)-[E(S)]^2 沒錯吧?
推 bluekeykey:s不是母體標準差的不偏估計量喔
→ goshfju:樣本變異數確定是不偏的 樣本標準差則要算過才能確定
→ bluekeykey:恩恩！我是提醒原po MSE(S)不能直接等於Var(S)