[理工][線代] determine

[wheels ()]

現在有個矩陣M = [A C]  ，  M:(m+n-1) * (m+n-1)
                [B D]


其中A:(m-1)*(m-1)
    D:n*n


A是對角矩陣且對角項皆為n，D是對角矩陣且對角項皆為m，

B和C的每項皆為-1，求det(M) = ?



答案是m^(n-1) * n^(m-1)


其實這也就是Km,n的spanning tree個數，有人知道怎麼做嗎？

eigenvalue怎麼抓也只抓的到m+n-3個，另外兩個抓不到@_@

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◆ From: 111.249.0.187
推 harrypotter2:我用先消B矩陣再算det(A)det(D)的方法...特徵值不知
→ wheels:這招我也試過，可是D會跟著變，也是要用eigenvalue算det(D)
→ wheels:我懂你的意思了，先把A的所有列加到A的最後一列再跟B消？來
→ wheels:試試看好了。
推 harrypotter2:我是直接拿A所有列去消B，算出來跟解答一樣
→ harrypotter2:這樣只要整理一下det(D)  答案就出來了
→ wheels:嗯嗯，我的盲點在於我忘記我的作法會提出一個n，感謝！
→ wheels:其實這題還滿簡單的，只是我一直執著在eigenvalue上...真糟
推 harrypotter2:偶爾會發生這種狀況～
推 mqazz1:可以請問w大這是哪邊的題目嗎?
推 genius945:請問一下h大,D那邊怎麼整理,我搞得好亂= =
→ wheels:這是算Km,n的spanning tree個數時用的matrix-tree theorem
→ wheels:黃子嘉上課只有給結果是這樣，沒有給過程，想說自己推推看
→ wheels:如果是用我說的全部加到A的最後一項再跟B消的話，D會變成
→ wheels:某個特殊矩陣，eigenvalue有n-1個m和1個1。
→ harrypotter2:我的步驟是：A的列全部乘1/n加到B  每列共加(m-1)次
→ harrypotter2:所以D會變成除了對角線多了m  其他都是(m-1)/n
→ harrypotter2:然後D全部的列加到D的第一列  剛好讓第一列全是1
→ harrypotter2:然後再用D的第一行去消其他行
→ harrypotter2:D就會變成開頭是1  其他是m的對角矩陣
推 genius945:感謝樓上,我有個地方多算了一次難怪會爆= =
→ sneak: 其實這題還滿簡單的，只 https://daxiv.com