推 mp8113f:第一題好像有錯喔..令p那邊 此分式不是嚴格真分不能拆 12/06 22:54
推 ntust661:少提一個東西出來 12/06 22:59
→ lookswind:謝謝唷!! 受益良多!! 12/08 00:36
※ 引述《lookswind (陸小鳳)》之銘言：
: (x+1)y"+xy'-y = (x+1)^2
觀察得知 y = x 為一齊性解
令 y = vx
y'= v'x + v
y"= v"x + 2v'
代入原方程式
2
=> (x+1)(v"x + 2v') + x(v'x + v) - vx = (x+1)
2 2 2
x v" + xv" + 2xv' + 2v' + x v' + xv - xv = (x+1)
2 2
x(x+1)v" + (x + 2x + 2)v" = (x+1)
2
x + 2x + 2 x+1
v" + ------------v' = -----
x(x+1) x
2
x + 2x + 2 2 1
其中令 p(x) = ------------ = --- - -----
x(x+1) x x+1
2
∫p(x)dx x
=> I(x) = e = -----
x+1
2
d x
----[-----v'] = x
dx x+1
2
x 1 2
-----v' = ---x + c1
x+1 2
1 1 1
v' = ---(x+1) + c1 * (--- + -----)
2 x x^2
1 2 1 1
=> v = ---x + ---x + c1 * (㏑|x| - ---) + c2
4 2 x
1 2
通解 y = vx = c1 * (x㏑|x| - 1) + c2 * x + ---x (x + 2)
4
: 我的解法是泰勒直接求解
: ---->http://ppt.cc/2KjK
: 但因為沒給 y(0)和y'(0)所以很怪
: 去問一個老師他說這解法是錯的
: 請問這題該如何解?
: 1. y"-4xy'+ 4x^(2)y = xe^(x平方)
令 p(x) = -4x
2
q(x) = 4x
1 2 1 2 1 2 1
檢查 q - ---p - ---p' = 4x - ---(-4x) - ---(-4) = 2 => 可換y
4 2 4 2
∫(-1/2) * p(x) dx x^2
令 u = e = e
x^2
y = uv = e v
x^2 x^2
y'= e v' + 2xe v
x^2 x^2 2 x^2 x^2
y"= e v" + 4xe v' + 4x e v + 2e v
代入原方程式
x^2 x^2 2 x^2 x^2 x^2 2 x^2 2 x^2
=> e v" + 4xe v' + 4x e v + 2e v - 4xe v' - 8x e v + 4x e v
x^2
= xe
v" + 2v = x
1
v = k1 * cos(√2 x) + k2 * sin(√2 x) + ---x
2
x^2 x^2 1 x^2
通解 y = e v = k1 * e cos(√2 x) + k2 * sin(√2 x) + ---xe
2
: 2. x^(2)*(xdx + ydy) + y(xdy - ydx ) = 0
: 以上兩題要如何解? 有請高手指點 謝謝!
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