作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [線性代數]
時間Mon Dec 12 09:44:52 2011
※ 引述《gleen7902 (小阿倫)》之銘言：
: 大家好~想請教一下
: 這題是交大應數100年的題目
: 4-1-1-1
: -1 4-1-1 -1
: A = [-1-1 4-1 ] find A (A的反矩陣)
: -1-1-1 4
: 是可以用列運算求解
: 我想問的是用帶餘除法
: 先找m(x)最小多項式
: 判斷最小多項式因式的次方 是用缺少向量個數+1
: 但前提必須是 dim{ N(A-入I) 交集 col(A-入I) } = 1
: 但這題我算了之後 dim N(A-入I) = 3 dim col(A-入I) = 1
: 因為dim{ N(A-入I) + col(A-入I) } = 4 => 這是我自己算的，應該沒錯....
: 所以dim{ N(A-入I) 交集 col(A-入I) } = 0
: 但答案還是直接用缺少向量個數+1!!
: 這堤算出來是沒有缺少向量個數所以m(x) = (x-5)(x-1) 都各為一次方
: 是不是沒有缺少向量個數
: 就可以直接寫它的因式為一次方阿???
: 小弟不才
: 請各位高手幫忙一下
: 感謝
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det(A-λI) = 0
3
可解得 (1-λ)(5-λ) = 0 (這題的矩陣很簡單，做一下列運算就可得到了)
不難驗證 λ = 1 or 5 的 Algebraic multi. = Geometric multi.
所以 A 的最小多項式為:
P(x) = (x-1)(x-5)
=> O = (A-I)(A-5I) = O
2
=> O = A - 6A + 5I
-1 -1 6 3
=> A = ──A + ──I since det(A) = 1*5 is invertible
5 5
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ps:
推文那個方法不是用湊的
有個很有名的公式:
-1 T -1
T -1 -1 A uv A -1
( A + uv ) = A - ─────── if A exists
T -1
1 + u A v
寫簡單一點就是：
T
若 A → A + uv
T
-1 -1 zw -1
則 A → A - ─── , 其中 z = A u
1 + λ
-T
w = A v
T -1
λ = u A v
T T
把 A = 5I 、 u = [1,1,1,1] 、 v = [-1,-1,-1,-1]
套進那個公式即為所求
至於那個公式的證明，爬一下我以前的文章應該就有了
或是有其它比較直觀的證明
有興趣我再貼上來
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