Re: [理工] [線代]均方近似解

[louis719 (ㄚ嘉)]

※ 引述《dkcheng (電磁霸主)》之銘言：
:                                                                  n
: For any matrix A，let N(A) denote its null space. In real space R ，define the
:                                                                             1
:                                                                            ---
:                                                                             2
: inner product < x，y > = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn and 2-norm ∥x∥= < x，x >
:                                 T                     T
: for all vectors x = [x1···xn]  and y = [y1···yn] . Suppose S is a
:              n       ┴                                       n
: subspace of R . Let S   be the orthogonal complement of S in R  with respect
: to the inner product <．,．>. Consider a real 4x4 matrix A with N(A) spanned
:                        T             T              T
: by the set { [2 0 2 -1] ， [1 2 0 -1] ， [3 -1 4 -1] }
: (1). What is the rank of A ?
:                                          ┴
: (2). Find an orthonormal basis B for N(A)
: (3). With the above information, judge which one of the following three
: conditions can uniquely determine the matrix A, and find the unique A under
:                                   T                                  T
: that condition: Condition I: A = A  and det(A)=0; Condition II: A = A  and A
:                                           T
: has an eigenvalue 1; Condition III: A = -A .
:                                                             T
: (4). What is the least square error solution of Ax=[1 1 1 1]  for the unique
: matrix A obtained in (3) ?
: (1)、(2)沒問題，(3)、(4)不會做，好難唷..想不太到
: 煩請高手了

(3)
                                  T                           T
I or II 的condition下， 因為 A = A ，加上dim(A)=1，所以 A = vv
                        T       垂直
其中 v 屬於 Im(A) = Im(A ) = N(A)   ，也就是(2)求出的向量，
                      T               T
可以驗證一下當  A = vv  ，這時候 A = A  會成立


然後 I 的條件下，det(A)=0，所以 v 有無限多種(把v乘上任何常數倍)，

畢竟dim(A)=1<n  det(A)=0本身就會成立(所以這個條件有給跟沒給一樣XD)



但II的條件下就不同了，他限制A要有個eigenvalue 1，

而eigenvalue 1的eigenvector一定會是 v，
       T                          T      T
Ax = vv x  ，x帶v下去  =>  Av = vv v = (v v )v
         T
由此可見v v 就是v的eigenvalue，加上他又限制eigenvalue是1
   T
=>v v = 1 = |v|

所以限制住v的長度後，v就唯一了，自然A也唯一


               T
至於III  A = -A 在實數下要成立，則必須是所有eigenvalue都為0

但 dim(N(A)) = 3 =/= 4，很明顯不成立，所以這個條件不可能找的到A



(4)

這題似乎也可以帶近似解公式去解?(後來發現帶公式解野蠻快的..

只是要記得把線性相依的行先拿掉)
                           T
不過我的話會直接把[1 1 1 1]  投影到 v 上面

因為 Ax span出來的向量就是 v 乘上常數倍，不過這樣算投影完之後

還要再解一次 x ，假設投影完是 k * v(k是常數)
            T      T                  T
在解 Ax = vv x = (v x)v = k*v   ==>  v x = k
                      T         T
然後假設 x = [a b c d]   再去解v x = k

解出來x應該是三維的




如果有錯誤還請指正


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.30.99
推 cocohaha:原PO 112CS猛男
※ 編輯: louis719        來自: 140.112.30.99        (12/21 18:53)
※ 編輯: louis719        來自: 140.112.218.169      (12/21 19:45)
推 ntust661:推!
推 endlesschaos:eigenvalue 應該是 v^T v  而不是 vv^T 吧
打錯了，以修正
※ 編輯: louis719        來自: 140.112.218.169      (12/22 08:31)