作者endlesschaos (佐佐木信二)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] fourier transform
時間Fri Dec 23 18:22:45 2011
※ 引述《jody0113 (Jody)》之銘言：
: 求g(x)=x exp(-x^2)的fourier transform 是多少?
: 算不出來 ><" 麻煩各位高手解題
∞ -x^2 -iwx
F(w) = ∫ xe e dx
-∞
∞ -(x+0.5iw)^2 - 0.25w^2
= ∫ xe dx
-∞
-0.25w^2 ∞ -(x+0.5iw)^2
= e ∫ (x+0.5iw)e dx
-∞
-0.25w^2 ∞ -(x+0.5iw)^2
- 0.5iw * e ∫ e dx
-∞
令 x + 0.5iw = v
-0.25w^2 ∞ -v^2 -0.25w^2 ∞ -v^2
F(w) = e ∫ ve dv - 0.5iw * e ∫ e dv
-∞ -∞
∞ -x^2
考慮 I = ∫ e dx
-∞
2 ∞ -x^2 ∞ -y^2
I = ∫ e dx ∫ e dy
-∞ -∞
∞ ∞ -(x^2 + y^2)
= ∫ ∫ e dxdy
-∞ -∞
2π ∞ -r^2
= ∫ ∫ e rdrdθ
0 0
∞ -r^2 2
= π∫ e d(r )
0
-r^2｜∞
= -πe ｜ = π
｜0
ˍ
=> I = √π
1 -0.25w^2 ∞ -v^2 2 -0.25w^2 ˍ
故 F(w) = ---e ∫ e d(v ) - 0.5iw * e * √π
2 ∞
-0.25w^2 ˍ
= 0 - 0.5iw * e * √π
ˍ 2
√π -0.25w
= - ---- iw * e
2
--
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◆ From: 140.112.44.41
推 jody0113:感恩 了解了 12/23 18:35
推 doom8199:不能這樣算吧。 v 是複數, 積分路徑不應該還是 -inf~inf 12/24 07:36
→ endlesschaos:只是比較不嚴謹的寫法而已 實際上那邊的積分虛部的 12/24 11:47
→ endlesschaos:部份會因為實部而收斂到 0 所以答案一樣 12/24 11:47
→ doom8199:那個解法只是個 idea, 實際上是錯的... 12/24 12:17
→ doom8199:若每個函數都具備那麼好的性質 12/24 12:18
→ doom8199:那以後遇到 a+i∞ 或 ∞+ib 的積分上下限直接省略a b就好 12/24 12:19
→ doom8199:inverse LT 的公式也不會刻意在上下限打成 a+-i∞ 12/24 12:20
→ endlesschaos:a+i∞ 我是不敢講 但 ∞+ib 的確很多也是收斂到 0的 12/24 14:15
→ endlesschaos:原因是那種上下界通常都出現在指數裡 因此無須理會 12/24 14:15
→ endlesschaos:虛部相角究竟轉到哪裡 再次強調 這是不嚴謹的寫法 12/24 14:17
推 SS327:QQ以前問過老師...老師說這是錯的解法 12/24 14:47