推 doom8199:要用複變把那個積分和 I 做連結，考慮矩形 contour 即可 12/25 10:00
→ doom8199:其它的路徑積分我沒試過就是了 12/25 10:01
※ 引述《doom8199 (～口卡口卡 修～)》之銘言：
: ※ 引述《endlesschaos (佐佐木信二)》之銘言：
: : 令 x + 0.5iw = v
: : -0.25w^2 ∞ -v^2 -0.25w^2 ∞ -v^2
: : F(w) = e ∫ ve dv - 0.5iw * e ∫ e dv
: : -∞ -∞
: : ∞ -x^2
: : 考慮 I = ∫ e dx
: : -∞
: : -r^2｜∞
: : = -πe ｜ = π
: : ｜0
: : ˍ
: : => I = √π
: : 1 -0.25w^2 ∞ -v^2 2 -0.25w^2 ˍ
: : 故 F(w) = ---e ∫ e d(v ) - 0.5iw * e * √π
: : 2 ∞
: : -0.25w^2 ˍ
: : = 0 - 0.5iw * e * √π
: : ˍ 2
: : √π -0.25w
: : = - ---- iw * e
: : 2
: (恕刪)
: <1>
: 我先隨便造一個例子:
: -|t|
: f(t) = e
: 考慮以下積分:
: ∞ -jw ∞ -t+jw jw
: g(w) = ∫ f(t) e dt = 2∫ e dt = 2e
: -∞ 0
: 雖然這例子還蠻無聊的，可是若用以下算法的話:
: 『
: 令 v = t-jw
: ∞ -v
: 所以 g(w) = 2∫ e dv = 2 ... ?
: 0
: 』
雖然重點不在這裡
不過這邊有誤
v = t-jw => t : 0 → ∞ => v = -jw → ∞
∞ -v -v｜∞ jw
g(w) = 2∫ e dv = -2e ｜ = 2e 與原答案相同
-jw ｜-jw
因此這個例子我了解您要表達的
但兩者做法算出的答案依然相同
: <2>
: 一般講做法不嚴謹
: 應該是指一整套的論證下
: 您有忽略甚麼論點
: 造成整個論述並不能完全保證是 true
: 例如 今天若給定前提 p是 true , 要證明 q 也是 true
: 若你知道有幾個定理可以確保 (p→r) 和 (r→q) 是 true
: 所以整個論證是:
: p is ture
: (p→r) is true
: (r→q) is true
: => q is true
: 可是有可能因為忽略了 (p→r) 的正確性
: 造成以論述變為:
: p is ture
: r is true
: (r→q) is true
: => q is true
: 這種缺乏證據而直接把 r 視為 true , 導致推得 q 也是 true 的論證
: 這樣才可說上面的做法不夠嚴謹
: -----
: ∞ -x^2
: 可是 endless大 您的論述是把 I = ∫ e dx 的證明
: -∞
: ∞ -(x+jb)^2
: 直接當成是計算 ∫ e dx 該積分的結果
: -∞
: 這樣子的論述是錯的
: 而非是您所謂的不嚴謹做法
: ∞ -(x+jb)^2 ∞ -x^2
: 當然若您把 ∫ e dx = I = ∫ e dx
: -∞ -∞
的確
實數系和複數系的瑕積分不能直接套用
我確實是在「可以算出答案」的情況下直接轉換
這是我所謂「不嚴謹」的意思
不過也是因為我目前還沒遇過第一個式子不成立時的狀況
因此才經常使用這種奧步
∞ -x^2 -iwx ∞ -x^2
考慮 ∫ xe e dx = ∫ xe (coswx - isinwx) dx
-∞ -∞
∞ -x^2
= -2i∫ xe sinwx dx
0
0 -x^2 2
= i∫ e sinwx d(x )
∞
∞ -x^2
= i∫ sinwx d(e )
0
-x^2｜∞ ∞ -x^2
= isinwx e ｜ - i∫ we coswx dx
｜0 0
1 ∞ -x^2
= - ---iw∫ e coswx dx
2 -∞
1 ∞ -x^2
= - ---iw∫ e (coswx - isinwx) dx
2 -∞
1 -x^2
= - ---iw F[e ]
2
1 ˍ -0.25w^2
= - ---√πiw e
2
不過我還真有點忘記當初這個公式是怎麼推導的
是繞上半圈複數平面和下半圈做無限大路徑積分嗎？
總而言之
我承認之前的寫法以 doom大的論點是錯的
老實說也很希望能早日找到反例這樣就不會去鑽一些漏洞
不然以後遇到很麻煩的積分
我還是很有可能會用這種我認為「不嚴謹」的做法......Orz
也提醒原 PO 第二篇的做法比較適合
以上
: 當成是已知結果而直接拿來使用
: 這樣整個論述就會是對的
: 只是您目前手邊缺乏一個有利的證明，可以論證上式的正確性
: 這樣你才可以說這樣子的做法不夠嚴謹
: 我舉個工數上常見的一個 不嚴謹/錯誤 的做法
: 例如 要計算 Y(s) = L{t*cos(2t)}
: d L{sin(at)}
: 有些做法會這樣子算它: Y(s) = ─────── │ ___(1)
: da a = 2
: 可是在這樣子算之前卻沒有先去驗證 微分/積分 算子可以互換 for this case
: 所以這樣子算雖然是對的，但卻缺乏嚴謹性
: 可是若有人把 (1) 式的解法當成是恆等式
: 那對該人來說
: 他用 (1)式 那個論述就會是錯的 (即使答案對也是錯誤的論證)
: 因為那個算法只有在某些情況下才會成立
: Note:
: 嚴謹這一詞至少對我而言是跟 false 可以區而開來
: 或許對您而言, "嚴謹" 這一詞有不同的解讀
: 若對您來說，不嚴謹的做法有包含我一開始所舉的那個錯誤的例子
: 那請忽略我整篇的文章 OTZ
: ps:
: 抱歉，這篇可能沒能回答到原原po想問的問題 XD
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