推 DiLegend:第4個是用Cauley Hamilton解吧 12/31 19:11
→ DiLegend:第二個用一般線性證法吧 13期待有人能解釋下 12/31 19:12
推 pikachu123:1.怪怪的 如果改inner product space就對 12/31 19:47
推 harrypotter2:第一題:False，零維基底為空集合，不為正交基底 12/31 19:47
→ pikachu123:因為對個L.I. set都可由G.S. Process轉成正交集 12/31 19:47
→ harrypotter2:第三題怪...光是Normal就會有正交特徵向量了 12/31 19:48
→ pikachu123:3.那是因為正規矩陣相異Eigenvalue 之eingenvector 12/31 19:49
→ pikachu123:必定垂直 我過我看不懂題目在問甚麼 應該是考這個 12/31 19:49
→ pikachu123:對稱矩陣可正交對角化 是靠shur定理 12/31 19:51
→ pikachu123:定理告訴我們若A 的特徵多項式over R可split 12/31 19:52
→ pikachu123:他必可正交上三角化 加上他是對稱 所以可正交對角化 12/31 19:54
推 harrypotter2:但symmetric,Hermitian,skew-symmetric...等都可以有 12/31 19:54
→ harrypotter2:正交特徵向量，第三題感覺以偏概全= = 12/31 19:55
→ harrypotter2:而且第三題還沒有強調是"實"對稱... 12/31 19:57
→ harrypotter2:我上面打的symmetric要改成real symmetric才對... 12/31 19:58
那如果第一題改成除了零維向量空間外 是對的嗎?
※ 編輯: john97611017 來自: 140.112.217.81 (12/31 23:45)
推 wheels:2.的問法有問題，若A為L的matrix representation，代表L已 12/31 23:43
→ wheels:經是linear才可以這樣作，我想你要問的是矩陣函數化後怎麼 12/31 23:43
→ wheels:看此函數為linear，就檢查加法和純量積就可以了。 12/31 23:44
→ wheels:3.在A over C的時候只要為normal必為Hermitain，所以才會 12/31 23:45
→ wheels:有後面的故事，在over R的時候因為沒有這條件可以用，所以 12/31 23:46
→ wheels:要加上symmetric來滿足，之後就是p大說的shur造成的效果， 12/31 23:46
→ wheels:在A over R的時候，A為symmetric和A可正交對角化互為充要 12/31 23:48
→ wheels:條件，所以才會有A不為symmetric時A不可正交對角化的判斷。 12/31 23:49
推 wheels:1.如果把零空間排除的話，就我的認知內只要定義了一種內積 01/01 00:05
→ wheels:就可以把向量空間轉成內積空間，而在此種內積空間下只要滿 01/01 00:06
→ wheels:足一個set內任兩個相異向量作你定義內積內積為0就可以稱為 01/01 00:08
→ wheels:orthogonal，而有限空間必有獨立之basis(無限維有請高手) 01/01 00:10
→ wheels:此組basis因為包含於此內積空間且為線性獨立，所以可作GS到 01/01 00:11
→ wheels:orthogonal，所以應該是對的。 01/01 00:11
→ wheels:4.的解法我有點疑惑，代公式解的背後意義是把X項配方並且把 01/01 00:13
→ wheels:剩下的項視為某項之平方，再利用a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)去 01/01 00:14
→ wheels:找出解，但是矩陣運算中這個公式似乎不一定成立？如果B為I 01/01 00:15
所以可以寫成矩陣就一定是線性囉?
※ 編輯: john97611017 來自: 140.112.217.81 (01/01 00:16)
→ wheels:之倍數才有帶入此法吧？或許有人可解惑一下:) 01/01 00:15
推 wheels:不，你弄錯方向了，可寫成矩陣要在你的T已知為線性才可以， 01/01 00:20
→ wheels:如果是矩陣函數化的話，那就一定是線性。 01/01 00:20
推 harrypotter2:Real Skew symmetric的矩陣也是Normal矩陣吧... 01/01 00:34
推 harrypotter2:第一題的話，非零維只要說任意空間基底皆可由GSO做 01/01 00:38
→ harrypotter2:正交化就可以了 01/01 00:38
→ harrypotter2:第二題，只要帶入Y=AX 別跑出非齊性項就是線性了 01/01 00:40
→ harrypotter2:所以通常能用矩陣表示就是線性... 01/01 00:41
推 harrypotter2:請問一下W大，為什麼A over C的時候只要為normal必為 01/01 01:03
推 wheels:real skew symmetric是指skew symmetric但over C的實矩陣? 01/01 01:04
→ harrypotter2:Hermitian ? Skew Hermitian也是Normal矩陣吧? 01/01 01:05
→ harrypotter2:Real Skew symmetric:A屬於R，A^(t)=-A 01/01 01:06
推 wheels:通常講一個matrix為real matrix只是說它的每個entry皆為 01/01 01:08
→ wheels:real而已，跟此matrix over哪裡沒有關係喔... 01/01 01:08
→ wheels:而且在matrix over R的時候 skew symmetric的matrix是無法 01/01 01:11
→ wheels:正交對角化的，在matrix over C的時候因為為normal必為 01/01 01:11
→ wheels:Hermitian所以才可以把條件定到normal，但是over R的時候不 01/01 01:12
→ wheels:能用這條，所以才把條件定到symmetric，不然沒辦法帶引理 01/01 01:14
推 harrypotter2:原PO問有無正交的特徵向量，我的想法是:Normal的特 01/01 01:20
→ harrypotter2:徵向量可為正交，而Normal包含實對稱,反實對稱,赫密 01/01 01:22
→ wheels:噗，我發現我把方向用反了，那邊的推導是直接經由schur才對 01/01 01:23
→ harrypotter2:特,反赫密特...等，所以skew hermitian的特徵向量可 01/01 01:23
→ harrypotter2:為正交 01/01 01:23
→ wheels:"normal必為Hermitian"這句話簡直就是個大笑話＝ ＝ 01/01 01:24
→ harrypotter2:請問我上面的想法哪裡有錯嗎= =? 因為我筆記上也寫 01/01 01:24
→ wheels:應該是positive definite必為Hermitian，不小心絞再一起了 01/01 01:24
推 wheels:好險有更正回來，over C的matrix要么正對角化是走schur再走 01/01 01:28
推 harrypotter2:怎麼想都覺得第三題條件不足... 01/01 01:28
→ wheels:引理過來的，但是over R的時候因為為了要all eigenvalue屬 01/01 01:30
→ wheels:於R才需要定到A為symmetric 01/01 01:30
推 wheels:你覺得條件不足應該是這個判斷在over R時會對但over C不一 01/01 01:35
→ wheels:定對吧。 01/01 01:35
推 harrypotter2:因為當A的共軛轉置=-A時，A會有正交的特徵向量... 01/01 01:39
推 wheels:那我們的想法是一樣的...XD我只是把充要條件說給他聽而已:P 01/01 01:42
→ wheels:不過引導的部分要把我出包的地方改一下XD over C是從schur 01/01 01:44
推 harrypotter2:原來我們想法一樣XD 先去睡了 新年快樂^^ 01/01 01:44
→ wheels:over R是為了eigenvalue為實數所以限制比較嚴格要定到symm 01/01 01:45
→ john97611017:謝謝你們QQ 01/02 00:49