Re: [商管] [微積分]三角積分

[ntust661 (XDeutesh)]

※ 引述《destiny0609 (.......................)》之銘言：
: 請問一下   像下面這樣一堆sin  con連在一起的要怎麼積?
:   π/2     8      10
: ∫      cos θ sin  θ  dθ
:    0
: 說明一下: cos的8次方 乘以  sin的10次方       然後範圍是0到π/2


        1      p-1 q-1      Γ(p)Γ(q)
  考慮 ∫ (1-x)   x    dx = ─────  = I
        0                    Γ(p+q)

         2
  x = sin θ


   π/2       2p-2      2q-2
  ∫     cosθ     sinθ     2sinθcosθdθ
   0


      π/2      2p-1     2q-1
 = 2 ∫    cosθ    sinθ     dθ
      0


 考慮 2p-1 = 8

      2q-1 = 10


  p = 9/2  , q = 11/2



        Γ(9/2)Γ(11/2)   (7/2*5/2*3/2*1/2*√(π))(9/2*7/2*5/2*3/2*1/2*√(π))
  I =  ──────── = ──────────────────────────
            Γ(10)                         9 * 8 * 7 *... * 1


       1 * 3 * 5 * 7         1
    = ─────────  * ── π
       2 * 4 * 6 * 8         2^9



   I
  ── = 原式
   2

: 類似的題目:
:   π/2    11      10
: ∫     cos  θ sin  θ dθ
:    0
: 有人可以稍微給我解釋一下嗎?
: 看解答上面寫得好像跟次方的奇偶數個有關
: 但我不知道來源.......
: 另外還有一題:  有關於體積的   也是不太懂
: Find the volume common to two sphere, each with radius γ, if the center of
: each sphere lies on the surface of the other sphere.
: 我覺得應該是用球座標去做
: 但是寫不出來.....因為他交集的球體出來似乎是個橢圓體?
: 不知道應該要怎麼做比較好呢~?


如果沒記錯應該是這樣 冏>
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.231.50.248
※ 編輯: ntust661        來自: 61.231.50.248        (01/01 23:39)
推 destiny0609:感謝!!!    下面那個體積的能否也指點一二  XD
多了個 9 = =
※ 編輯: ntust661        來自: 61.231.50.248        (01/01 23:48)



 交線在哪裡?


   2   2   2    2     2    2          2    2
  x + y + z  = r   = x  + y  + (z - r)  = r


    2         2
   z - (z - r)  = 0 ,  (2z - r) r  = 0  , z = r/2



先算一半

            -1
     2π sin  (1/2) r          2
V = ∫  ∫         ∫        ρ  sinψ dρdψdθ
     0   0          rsecψ/2

                               3
            π/6   1     3    r        3
  = 2π * ∫      ── (r  - ── secψ  ) sinψ dψ
            0      3          8

        3
    2πr           √3       1     3
  = ── * {( 1 - ──  ) - ──( ── - 1 )  }
     3              2        16    4


        3
    2πr         3     √3
  = ── { 1 + ── - ── }
     3          48     2

        3
     πr    51
  = ── { ── - √3 }
     3      24



這個可能有錯 你可以當作參考就好^^

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※ 編輯: ntust661        來自: 61.231.50.248        (01/02 00:00)
→ destiny0609:感謝  我消化一下~!