推 w0320:謝謝你! 這跟左微右積交叉乘意思一樣 感謝! 01/22 23:39
推 stella323:其實不是兩種方法 交叉成只是把 01/23 03:29
→ stella323:d( ) 作 ∫udv = uv - ∫vdu 做歸納而已 0.0 01/23 03:29
→ stella323:算久了 兩個方法一樣 然後用看的答案就自然寫出 01/23 03:30
推 w0320:同一個觀念(分部積分) 兩種操作方法沒錯呀 01/23 13:20
使用"不微要積法"做雙函數相乘積分乃是高中恩師所教 口訣即方法 以下是方法
∫(函數1)(函數2) dx = (函數1)∫(函數2)dx
- (函數1)' ∫∫(函數2) dxdx
+ (函數1)'' ∫∫∫(函數2) dxdxdx
- ..........
+ .......... loop
由上面公式可發現 (函數1)除了第一項不微之外 其餘後項需一直微分下去
(函數2)從第一項開始要一直積分下去
係數是+-+-排列
以下是示範
∫x˙sinx dx
首先這是兩個函數相乘 第一個函數是x 第二個函數是sinx
那到底要選取哪一個是(函數1)哪個是(函數2)呢?
由公式發現(函數2)是一直積分下去的 而任何一個函數皆可以無限積分到無止盡
而(函數1)則是無限微分下去 假若不是特殊函數 則一定會微分到0
當微分到0之後 也就代表結束了
以本題為例 當然是選取x為(函數1) 因為x微分兩次就等於0了
假若你選擇sinx為(函數1) 則會一直無限微分下去 根本沒完沒了
所以才採用x為(函數1)
接著帶入公式即可
∫x˙sinx dx = x∫sinx dx - (x)'∫∫sinx dxdx + (x)''∫∫∫sinx dxdxdx
= -xcosx + sinx
※ 引述《w0320 (宇)》之銘言：
: 在作傅立葉級數展開遇到了一種滿常見的積分
: ∫x˙sin x dx
: 不好意思我基本功沒練好基礎不穩 所以每次作每次答案都不一樣
: 這次我把詳細過程寫了下來
: 想請教一下板上的同學
: 我使用了兩種方法來算部分積分
: 一種是常見的左邊x 右邊sinx 左邊微分右邊積分 交叉乘下去
: 另一種是合併 d( ) 作 ∫udv = uv - ∫vdu
: 但是怎麼作第一種方法總是會多一項出來
: 不好意思想麻煩板友幫忙除錯一下
: 詳細過程: http://i.imgur.com/7B8DK.jpg 黑底版本
: http://i.imgur.com/xlIaY.jpg 白底版本
: 不知道哪種顏色對大家來說比較不傷眼 所以兩種都弄了 謝謝!
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