Re: [理工] [工數] 線性獨立and非正合積分因子

[blazesunny (Sunny)]

我重新回一篇 就事論事 不要生氣:)


基本上Wronskian是用來判斷線性獨立或相依的

若 W≠0時 則 線性獨立


若 W=0

則回歸定義 令c1*V1+c2*V2 =0 找c1,c2 =>皆為0獨立=>可不為0相依


: lnx,(lnx^2),(lnx)^2
:
: 請問這3個有線性獨立嗎?
:
: 我自己判斷是獨立的,可是我看解答給的答案是相依.
:
: 不知道是為何...還是解答有誤...
: 推 blazesunny:1.Wronskian=0 線性相依                               01/21 23:34
: 推 pikachu123:樓上講錯了 Wronskian只能判斷獨立 函數空間請代值進    01/21 23:38
: → pikachu123:去 如果Wronskian失敗                                 01/21 23:38
: 推 pikachu123:Wronskian很多人會亂用 以為=0就是相依 反例一堆        01/21 23:42
 → pikachu123:像x^2 x*|x| Wronskian就會失敗                        01/21 23:44

定理&同一題 http://ppt.cc/3trS http://ppt.cc/Q2Ir

: → blazesunny:確定函數微^n不會有尖點 |x|或tanx之類的 就可以用吧!?  01/22 00:22
: → blazesunny:多項式 sinx cosx logx lnx e^x 組合的 基本上都可以    01/22 00:22

 → doom8199:|x^(n+1)| 和 x^(n+1) if n:even 就是一個很簡單的反例了  01/22 14:15
 → doom8199:樓樓上你該不會認為 |x^(n+1)| 在 x=0 是 n階不可微?      01/22 16:49

首先 你舉的例子 有絕對值 在0處就不可微分了

可參考http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%BD%E6%95%B0

內容有提到 絕對值函數非解析函數，因為它在零點不可微。


但我還是實際算一次 以最簡單的例子兩函式比較 必須兩階可微分

這函數的確有些特別 因為x高次在x=0處無法用是否有折點判斷

可參考之證明法
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1106101701528


判定你所舉的例子於x=0時的可微分性 :

    3      2    2  2
y=|x |=|x|x =√x *x

其微分為

      1   2x       2      2         x    2
y'= ──*────*x  + √x *2x = ───*x + 2|x|x
      2   √x^2                    |x|

             2
            x
y''=5|x|+ ───
           |x|

       x    |x|
y'''=4──+2── x≠0
      |x|    x

三次微分時 x/|x|出現 x≠0 即y''函數不可微 不滿足使用條件

附上

x/|x| 的圖

http://ppt.cc/FZi0

因為y=|x^3|之y'函數於x=0 不可微分 當然不能用Wronskian判定相依 !!!



結論

絕對值函數有可能可微分

但不可能n階可微分(這限制好嚴XD)

我一開始理解有誤 n應->∞ 的確我書上前幾頁有寫n->∞

所以一定會出現x/|x| 不可微分

但我書的作者分段的題目類題不可微分很怪

他不可微的定義或許寫錯

謝謝d大指教

W=0 請回歸定義做 比較保險:)

其實定義也很簡單 不一定要Wronskian:)

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◆ From: 218.160.111.11
推 gnsh:認真推!
推 pikachu123:x|x|在 C[-1,1]是可微的 在C^2[-1,1]才不可微
→ pikachu123:所以Leon那個例子 Wronskian才會失敗
→ pikachu123:最好是用定義來證函數空間會比較好 不然會踢到鐵板的
推 pikachu123:analytic function下Wronskian確實可以判斷相依
謝謝大家一起討論:)
※ 編輯: blazesunny      來自: 114.34.46.223        (01/23 18:47)
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