作者jack0711 (小修)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] [線代] 交大99工數(回鍋)
時間Mon Jan 23 16:28:44 2012
※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: ※ 引述《t1552050027 (小銘)》之銘言：
: : (i) 第一題我算是這樣
: : 0 -a3 a2
: : a3 0 -a1
: : -a2 a1 0
: : 不過不知道對不對耶>///<
: : http://ppt.cc/Wfzn
: : 第二題沒甚麼想法耶
: : 請問怎麼解呢
: : kerker
: 有人知道這題如何下手嗎 !
: 好像有扯到向量部分 ..
: 小弟沒有學到這部分
: 希望有高手能解答 !
這題其實可以單純用線代的，基底轉換，線性映射
還有高中就學會的外積基本定義來解題
A= 0 -a3 a2
a3 0 -a1
-a2 a1 0
基底變換，我們將向量a當作B基底的x軸b為y軸c為z軸
所以換到B基底時，R變成繞x軸轉的旋轉矩陣，稱T(b)
x(b)為在B基底上描述x所得向量
y(b)為在B基底上描述y所得向量
B=[a b c] , a b c為正交歸一基底(B^(-1)=BT)
Bx(b)=x
By(b)=y
Rx=y
=>RBx(b)=By(b)
T(b)=B^(-1)RB
[1 0 0 ][aT]
=>R=BT(b)B^(-1)=[a b c][0 cos -sin][bT]
[0 sin cos][cT],T表示轉置
將R展開
=>R=aaT+cos*bbT+sin*cbT-sin*bcT+cos*ccT
接下來，令Ab=c,Ac=-b
=>AbbT=cbT
=>AccT=-bcT
帶回上式
=>R=aaT+cos*bbT+sin*AbbT+sin*AccT+cos*ccT
=aaT+cos*(bbT+ccT)+sin*A(bbT+ccT)
接下來就要找
aaT.bbT.ccT和A之間的關係了
aaT+bbT+ccT=I (因為aaT.bbT.ccT其實就是投影在a.b.c上的投影矩陣
而且a.b.c互為歸一正交)
-I+aaT=A^2 (這個也可以用投影和外積的物理觀念去想)
=>bbT+ccT=I-aaT=-A^2
=>aaT=I+A^2
代回原式
=>R=I+A^2-cos*A^2-sin*A^3
=I-sin*A^3+(1-cos)*A^2
這個時候，發現，好像還差一點點，不要氣餒
找A和自己的關係式
由Caley-Hamilton得
A+A^3=0
=>-A^3=A帶回原式
=>R=I+sin*A+(1-cos)*A^2
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◆ From: 218.168.225.91
※ 編輯: jack0711 來自: 218.168.225.91 (01/23 16:33)
推 mp8113f:推一個辛苦! ...我光是看符號就很辛苦了...QQ" 01/23 19:04
→ mp8113f:這題是你自己想出來的嗎 !? 01/23 19:04
→ mp8113f:我好奇的是....真的在考場上需要做多久! 01/23 19:04
→ jack0711:是我自己想的沒錯，不過之前卡在aaT=I+A^2想了很久@@ 01/23 19:09
→ mp8113f:哈哈 ..這種題目在線性映射算是難的了 ! 01/23 19:10
→ mp8113f:原本想趁今天想一下 結果就看到你這篇了 ! 01/23 19:10
→ mp8113f:感謝啦 ! 我自己再思考一次也可以在核對一下 ! 01/23 19:11
→ jack0711:沒有15分以上還是不要碰的好@@ 01/23 19:11
→ mp8113f:j大資工系背景的嗎 01/23 19:12
→ jack0711:沒有，我電機的 01/23 19:17
推 mp8113f:@@" 哈哈 那就是對手囉 ...! 01/23 19:19
→ jack0711:一起上榜囉xdd 01/23 19:20