作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 工數微方跟線代
時間Tue Jan 24 22:44:45 2012
※ 引述《john97611017 (軟哥)》之銘言：
: 2. 已知積分因子 u1=xy u2=1/(x^2+y^2) 方程式y'=f(x,y) 求f(x,y)
令
M dx + N dy = 0 ,且 y' = f = -M/N
則由 ┌ (M*u1)_y = (N*u1)_x
│
└ (M*u2)_y = (N*u2)_x
可得:
┌ xy(M_y) + xM = xy(N_x) + yN
│
│
│ M_y 2y*M N_x 2x*N
└ ───── - ─────── = ───── - ───────
x^2 + y^2 (x^2 + y^2)^2 x^2 + y^2 (x^2 + y^2)^2
┌ xy*(M_y) + x*M = xy*(N_x) + y*N ____(1)
=> │
└ (x^2+y^2)*(M_y) - 2y*M = (x^2+y^2)*(N_x) - 2x*N ____(2)
┌ (2)+2*(1) ┌ (x+y)^2 *(M_y) + 2(x-y)M = (x+y)^2 *(N_x) - 2(x-y)N
=> │ => │
└ (2)-2*(1) └ (x-y)^2 *(M_y) - 2(x+y)M = (x-y)^2 *(N_x) - 2(x+y)N
┌ (x+y)^2 *[(M_y) - (N_x)] = -2(x-y)(N+M) ____(3)
=> │
└ (x-y)^2 *[(M_y) - (N_x)] = -2(x+y)(N-M) ____(4)
兩式相除可得:
(x+y)^2 (x-y)*(1-f)
──── = ──────
(x-y)^2 (x+y)*(1+f)
(x-y)^3 - (x+y)^3 -3(x^2)y - y^3
=> f = ───────── = ───────
(x-y)^3 + (x+y)^3 x^3 + 3x(y^2)
------------------------------------------------------------------------------
[驗證]
令
M = [3(x^2)y + y^3]*k(x,y)
N = [x^3 + 3x(y^2)]*k(x,y)
分別帶回 (3) (4) 式可得:
┌ (x+y)^2 *{[x^3 + 3x(y^2)]*(k_x)-[3(x^2)y + y^3]*(k_y)} = 2(x-y)(x+y)^3 *k
│
└ (x-y)^2 *{[x^3 + 3x(y^2)]*(k_x)-[3(x^2)y + y^3]*(k_y)} = 2(x+y)(x-y)^3 *k
=>
[x^3 + 3x(y^2)]*(k_x) - [3(x^2)y + y^3]*(k_y) = 2(x^2 - y^2)*k
該 pde 的特徵方程式為 :
dx -dy dk
─────── = ─────── = ───────
x^3 + 3x(y^2) 3(x^2)y + y^3 2(x^2 - y^2)k
┌ xy(x^2+y^2) = c1
解得 │
└ k = c2(x^2 + y^2)
因此 k(x,y) = (x^2 + y^2)*g( xy(x^2+y^2) )
即 ┌ M(x,y) = [3(x^2)y + y^3]*(x^2 + y^2)*g( xy(x^2+y^2) )
│
└ N(x,y) = [x^3 + 3x(y^2)]*(x^2 + y^2)*g( xy(x^2+y^2) )
where g(.) is any diff. function of the notation '.'
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所以 f 的確滿足題意，只是所選取的 (M,N) 怪噁心就是了....
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◆ From: 140.113.211.139
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (01/24 22:47)
→ mp8113f:XD 看到doom必推一下 .... 01/24 22:47
推 mp8113f:樓上沒推到 ...補推 01/24 22:48
→ doom8199:XD, 話說答案跟樓上差一個倒數加負號 01/24 22:52
→ doom8199:不知道是不是 (M,N) = (-c, c/f) ? 01/24 22:52
推 harrypotter2:推doom大!! 01/24 22:59
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (01/25 00:50)
推 jack0711:我有個小問題就是原方程式可以寫成dy-fdx=0 01/25 00:58
→ jack0711:你令成Mdy+Ndx=0 01/25 00:59
→ jack0711:這樣你不是已經先乘了一個積分因子叫做M嗎? 01/25 00:59
→ doom8199:那是你從 "dy-fdx=0" 的觀點來看積分因子 01/25 01:00
→ doom8199:但您也可以由 "Mdy+Ndx=0" 的觀點來看積分因子 01/25 01:01
→ doom8199:積分因子的目的只是希望可以調整係數後，使得存在一個 F 01/25 01:02
推 jack0711:所以你乘的積分因子實際上比題意要求的多M倍 01/25 01:03
→ doom8199:而 dF = ?dx + ?dy = 0 , 所以積分因子是一個相對量 01/25 01:03
→ doom8199:恩。正確來說，題目根本沒說明是從哪個ode來看待積分因子 01/25 01:04
推 jack0711:恩，不過好像要用你的方法才能解出來@@ 01/25 01:06
→ jack0711:用dy-fdx=0的觀點去解好像都會矛盾 01/25 01:07
→ doom8199:可是我覺得有可能式題目設計好耶，因為我帶回 (3)(4)式後 01/25 01:07
→ doom8199:發現兩個 eq. 是等價的。不然理論上來說可能無解 01/25 01:08
推 jack0711:只好祈禱考試的時候算出來是有解xdd 01/25 01:09
→ doom8199:若考出來就直接放掉吧= =, 找 (M,N) 比找 f 還困難許多 01/25 01:14
推 mp8113f:這題我一定放的啊 ...台科出10分 而且錯誤率又很高 .. 01/25 12:32