作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] laplace 複變
時間Tue Jan 31 08:13:57 2012
※ 引述《jody0113 (peter123)》之銘言：
: 2.
: ∮f(z)dz=2Πi*Resf(z)
: 若奇異點z=a 在上式的封閉路徑"上面"(非在實軸上),請問可以再用上面的式子嗎?
: 請板上高手幫忙.......
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<1>
我先舉一維的 case
2 1
若要計算 ∫ ── dx
-1 x
根據瑕積分定義, 在區間 (-1,0) 和 (0,2) 上
其積分值皆發散，所以原瑕積分值不存在
<2>
相同的道理，若 singular point(s) 落在 contour 上
您也是要像瑕積分定義那樣子做分段積分
-2i
例如求 L = ∮ ──── dz , C:{ z│ |z|=1 } (考慮逆時針方向)
C z^2 + 1
會發現 z = ±i 是 singular points , 且在 C上
所以需要把 C 拆成 C1 + C2
其中 C1:{ z│ |z|=1 , z=i to -i }
C2:{ z│ |z|=1 , z=-i to i }
然後分段積分
iθ
若照定義求 L, 一定是不存在, 因為經由變數變換 z = e
2π 1
L 可被改寫成 ∫ ─── dθ
0 cosθ
那個瑕積分可以很容易驗證其值不存在
<3>
可是複變函數它重新定義了 瑕積分 的原始含意
其中一個就是 Cauchy principal value
2 1
例如前面提到的 ∫ ── dx
-1 x
-ε 1 2 1
就會被重新定義成: lim { ∫ ── dx + ∫ ── dx }
ε→0 -1 x ε x
像前面提到的 L , 其科西主值也會存在
------------
因此原po推文說 算類似 L 的積分 , "兩個留數值相加等於0"
你其實是在算 科西主值
不然照原本的 contour 積分
你根本找不到一個微小的區間 落在 C內 且 Laurent series 存在
計算落在 C上 singular point 的留數值 沒有任何意義，而且是錯的
結論是原po問的那個公式
它不能套在 C上 的問題
若奇異點發生在 C上
我的經驗是幾乎積分值都發散或不存在
(應該可以找到收斂的例子，不過我懶得想就是了XD)
若奇異點發生在 C上 且要求科西主值
積分值還是有可能會發散
只是收斂的例子會變多，前面所述的 L 積分就是其一
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◆ From: 140.113.211.139
推 cosmo7897:好文推一個 所以分段線積分 就可以避掉奇點囉@@? 01/31 10:49
瑕積分的定義就是如此，把 不連續且 isolation 的點分段討論
推 jody0113:所以假如奇點在C上,且科西主值也存在,也不能代那個公式? 01/31 14:48
你可以複習一下 留數定理 它使用的先決條件以及簡易的證明
若想計算科西主值
複變的做法是會對奇點周圍多繞一小段 積分路徑為殘缺的圓
此時才能使用留數定理，但係數要稍做調整
推 jody0113:那有沒有可能是我不要取|z|=1為範圍 01/31 14:51
→ jody0113:我取|z|=2為範圍使奇點在C內 就可代那個公式了 01/31 14:53
→ jody0113:只是我令的積分路徑可能很難算 01/31 14:55
→ jody0113:我要問的是:為何一定要取|Z|=1呢?為何不取更大一點 01/31 14:56
因為 contour 的 deformation 有使用上的限制...
不是說你想改變 contour 的型態就可以隨意改變
推 jody0113:還有自己所取的積分路徑,為何會影響所算出的積分值? 01/31 14:59
推 jody0113:>< 唉...我想那應該是前前輩所留下的經驗法則 01/31 15:05
→ jody0113:是個好文.....推..... 01/31 15:07
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (02/01 08:59)