Re: [理工] 99台聯工數

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: ※ 引述《dannytom (~oo~)》之銘言：
: : 題目：  y'=y^2-1 , y(0)=1    要求y
: : 自己算算出了一個很怪的答案
: : 請板上的高手幫忙看看
: : 感激不盡
:   1
:  ─── dy = - dx
:  1-y^2
:      -1
:  tanh  y = -x + c
: ∴ y = tanh[c - x]
:                               -1
:   with y(0) = 1   get c = tanh   1
:                 -1
: ∴ y = tanh[tanh  1 - x]
:  這答案算怪還是漂亮 ... !  有錯幫指證 感謝 !
----

    分離變數法在使用上有一個 issue

    就是若把型如  y' = f(x)*g(y) 的 g(y) "除"到 LHS

    那得出來的通解會喪失掉 roots of g(y) = 0

    可是  g(y) = 0  的根也會是  y' = f(x)*g(y)  的解

    所以  g(y) = 0 也被稱為 singular solution




    以這題來說
                                              1 - y
    y' = y^2-1  的 general solution  =>  ln│ ─── │ = 2x - C
                                              1 + y

                   singular solution =>  y^2 = 1

---

    所以這題的計算過程就直接是:

    ┌ y^2 = 1    =>  y = 1
    └ y(0) = 1


    較詳細的說明就是由 唯一性定理 可知特解存在且唯一

    並且 通解不存在任何常數 C , 使得 y(0) = 1

    因此初始條件落在 singular solution 上 , 而 y=1 滿足題意



    這題不能直接利用通解來求得答案

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.113.211.139
推 jody0113:推
推 mp8113f:特解存在且唯一 是只有這種Case才發生的嗎 ?
→ mp8113f:因為算到其他的case特解都不唯一 !
→ doom8199:那代表你算的 case 不滿足唯一性定理, 就是如此XD
→ jack0711:所以說這題如果用RICCATII的話，觀察出一特解Y=1
→ jack0711:因為滿足唯一性定理，所以答案直接就寫Y=1對嗎@@??
→ doom8199:若用 Riccati eq. 的解法, 令 y(x) = 1 + 1/u(x)
→ doom8199:那 u(0) 會變成沒有定義