作者jack0711 (小修)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 工數
時間Thu Feb 2 03:28:23 2012
※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: 對於Delta function δ(t)
: 其實他的解法性質不是很清楚 只知道不能用一般的方式去處理它
: 關於 .. 若f(t) = t*u(t-1)
: please find L[f'(t)] 應該怎麼處理呢 ?
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)是有條件的，條件就是須為連續函數
原本的公式應為
-as + -
L[f'(t)]=sF(s)-f(0)-e *[f(a )-f(a )]，a為不連續點
如果不連續點不只一項，就要每項都考慮到
推導:
∞ -st a- -st ∞ -st
∫ f'(t)*e dt=∫ f'(t)*e dt+∫ f'(t)*e dt
0 0 a+
函數不連續處實際上是沒辦法積分的，所以必須分段討論
∞ -st -st a- a- -st -st ∞
∫ f'(t)*e dt=e *f(t)| + s∫ f(t)*e dt + e *f(t)|
0 0 0 a+
∞ -st
+s∫ f(t)*e dt (寫不下@@)
a+
a- -st ∞ -st -sa + -
=s*[∫ f(t)*e dt+∫ f(t)*e dt]-f(0)-e *[f(a )-f(a )]
0 a+
-sa + -
=sF(s)-f(0)-e *[f(a )-f(a )]
如果函數連續，則f(a+)=f(a-)，就是我們熟悉的公式了
所以這題題目f(t) = t*u(t-1) find L[f'(t)]
我們先判斷出f(t)在t=1時有不連續點，所以
f(t)=(t-1)u(t-1)+u(t-1)
1 -s 1 -s
F(s)= ----*e + ---*e
2 s
s
1 -s 1 -s -s + -
L[f'(t)]=s[----*e + ---*e ] - 0 - e *[f(1 )-f(1 )]
2 s
s
1 -s -s -s
=---*e + e - e *[1-0]
s
1 -s
=---*e (我猜這應該就是程X的解法@@)
s
另外有人問到為何先微分再取Laplace會錯?
我認為是因為你做微分時，沒有考慮到不連續點
接下來我利用微分的定義來做這個題目
d
----[t*u(t-1)]
dt
f(t+dt)-f(t) (t+dt)*u(t+dt-1)-t*u(t-1)
= f'(t) = lim -------------- = lim ---------------------------
dt->0 dt dt->0 dt
t*u(t+dt-1)-t*u(t-1) + dt*u(t+dt-1)
= lim -------------------------------------
dt->0 dt
0 + dt*u(t+dt-1)
=lim --------------------
dt->0 dt
=u(t-1)
有人問到不連續、尖點不是都不可微嗎，那這樣用微分算會不會有問題?
不連續函數的確是不可微，但是只有在不連續點處不可微(不好意思水球跟你說錯了)
以這一題為例，對於所有t0屬於(1,∞)和(-∞,1),f'(t0)=u(t0-1)
也就是除了t=1這一點無法微分外，其他t值都可以微，
換句話說f'(1)不存在或是沒有定義
實際上不連續點的函數值是被定義出來的
Q:u(t-1)在t=1時值為何?
A:不一定，有些課本定義u(0)=1(ex:C.HENRY EDWARDS所著ELEMENTARY DIFFERENTIAL
EQUATIONS)，
有些定義u(0)=0.5(滿足fourier函數性質)
事實上討論t=1這一點沒有意義，我們在乎的是t=1的鄰域
可以爬以前doom大的文章
最後我們得到一個驚人的事實
d
----[t*u(t-1)]=u(t-1)
dt
拉式轉換後跟前面結果一樣。
上述微分跟(f*g)'=f'g+fg'所得的結果會不一樣
我認為這個式子要在f和g在所有t屬於(-∞,∞)均為連續函數才可以使用
包含到不連續點，微分就必須用定義做，但不連續點處還是不可微，
所以不能輕易的寫成f'g+fg'
如果上面有做錯請大家幫忙糾正@@，可能有些地方不夠嚴謹..
另一題
t
f(t)*δ(t-a)=∫ f(t-τ)*δ(τ-a)dτ
0
t
=∫ f(t-a)*δ(τ-a)dτ
0
t
=f(t-a)∫ δ(τ-a)dτ
0
=f(t-a)*[u(t-a)-u(-a)]
當a>0
f(t)*δ(t-a)=f(t-a)*u(t-a)
經過樓下doom大的指正要滿足a>0和訊號為one side上式才會滿足
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.123.237
※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/02 03:32)
推 SS327:Q 02/02 03:36
→ SS327:謝嚕 02/02 03:38
※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/02 04:40)
推 SS327:謝謝@@上次Y 02/02 04:42
→ SS327:u(t-a)在a點的值之前好像問過嚕@@ 02/02 04:44
→ jack0711:所以我說可以爬doom大的文章，有討論過@@ 02/02 04:45
→ jack0711:還得感謝你糾正我觀念@@ 02/02 04:46
推 a149851571:請問一下 (t-1)*u(t-1)的微分 也會是u(t-1)嗎？ 02/02 09:31
→ jack0711:回樓上，用定義做，答案仍然是u(t-1) @@ 02/02 11:40
→ a149851571:那這樣對t*u(t-1)微分後再積分會變(t-1)*u(t-1)??? 02/02 11:57
→ jack0711:微分以後其實已經消去某些東西，再積分會得積分常數 02/02 11:59
→ a149851571:這樣好像有點弔詭 02/02 12:00
→ a149851571:嗯嗯 感謝！ 02/02 12:00
→ jack0711:也就是微分後再積分得到的結果不唯一 02/02 12:00
→ jack0711:上面說得積分是不定積分 02/02 12:01
→ a149851571:看來我過去的不連續點微分會出現impulse的觀念要改一下 02/02 12:01
※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/02 12:04)
※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/02 12:06)
推 SS327:J大f'(1)不存在或是沒有定義 02/02 12:08
→ SS327:那在做L[f'(t)]=積0~無限大這樣在f'(1)怎麼積分阿 02/02 12:10
→ jack0711:無法積分，拆成-∞~1-，1+~∞來積分 02/02 12:13
→ jack0711:也就是最上面那個證明的方法 02/02 12:13
推 SS327:恩恩 .3Q 02/02 12:36
推 a149851571:想再確認一下 所以這裡的step像是常數的感覺 微分後會 02/02 12:39
→ a149851571:消失，所以單純的u(t)微分就會變0，這樣想應該沒錯？ 02/02 12:39
→ jack0711:在t不等於0的時候你說的正確 02/02 12:45
→ jack0711:u(t)微分，我個人偏向覺得它是定義出來的u'(t)=δ(t) 02/02 12:46
→ jack0711:不然就是要用逼近的方式去模擬u(t) 02/02 12:48
推 mp8113f:推一個 XD" 字超多 ... 02/02 19:34