作者doom8199 (～口卡口卡 修～)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 工數
時間Thu Feb 2 11:33:45 2012
※ 引述《jack0711 (小修)》之銘言：
: 另一題
: t
: f(t)*δ(t-a)=∫ f(t-τ)*δ(τ-a)dτ
: 0
: t
: =∫ f(t-a)*δ(τ-a)dτ
: 0
: t
: =f(t-a)∫ δ(τ-a)dτ
: 0
^^^^^^^^^^^^^^
: =f(t-a)u(t-a)
^^^^^^
---
我標示的那兩個函數並非相等喔
t t-a
因為 ∫ δ(τ-a) dτ = ∫ δ(τ) dτ
0 -a
= u(t-a) - u(-a)
----------
( 以下假設 ⊕: conv. operator )
可是拿上式套 LT 的 convolution 公式卻會錯
理由是 convolution 正確定義是:
∞
f(t)⊕g(t) = ∫ f(τ)*g(t-τ) dτ
-∞
若我們考慮 f(t) = a(t)*u(t) , a()、b() is a function of t
g(t) = b(t)*u(t) u() is an uni-step function of t
∞
則 f(t)⊕g(t) = ∫ a(τ)*u(τ)*b(t-τ)*u(t-τ) dτ
-∞
t
=
∫ a(τ)*b(t-τ) dτ
0
會發現黃色底的公式正是 LT 下我們所熟知的 convolution
---------------
所以結論是綠色底公式的 convolution 才是原始定義 (上下限皆為無窮大)
而 f(t)⊕δ(t-a) = f(t-a) 是對的
可是若您想套 LT 的 convolution 公式
應該要如以下操作:
L{ [f(t)u(t)] ⊕ δ(t-a) } = L{f(t)u(t)} * L{δ(t-a)}
-as
<=> L{ f(t-a)*u(t-a) } = L{f(t)u(t)} * e
ps1:
以上單純是我個人的想法，若有錯誤請見諒 OTZ
ps2:
目前我是採用這種想法來看待 LT
也就是只要操作 one-sided LT
實域上的訊號 f(t) 經過一輪轉換後，我一定會乘上 u(t)
甚至都全部乘上 u(t) , 省事事省
不然像 convolution 有兩種定義大家都不覺得很奇怪嗎....
其實還有很多 one-sided LT 裡面 看似有 bug 的定理或公式
只要把訊號 f(t) 乘上 u(t), 我相信會豁然開朗的 XD
甚至也可以完全不要理會 one-sided LT 的定義
只要記得原始的 (bilateral) LT 定義是:
∞ -st
L{f(t)} ≡ ∫ f(t)*e dt
-∞
而型如 f(t) = a(t)*u(t) 的訊號餵進上式:
∞ -st
L{a(t)*u(t)} = ∫ a(t)*e dt
0
就回到我們所熟悉的 one-sided LT 的定義了
--
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◆ From: 140.113.211.139
※ 編輯: doom8199 來自: 140.113.211.139 (02/02 11:36)
推 jack0711:a>0時u(-a)不是等於0嗎@@?? 02/02 11:44
→ jack0711:我是考慮所有訊號都有乘上u(t)做conv的公式 02/02 11:46
→ doom8199:不過 a<0 那個值會跑出來。 還是前面有說 a>0 @@? 02/02 11:49
→ jack0711:不好意思，當時有點晚，沒想那麼多xdd 02/02 11:51
→ jack0711:大部分時間都在想前面那題@@ 02/02 11:52
→ doom8199:真的很晚... 你們太認真了XD 02/02 11:52
→ jack0711:所以說當a>0只考慮one side就是我寫的那個公式了? 02/02 11:53
推 SS327:D大如果要求L{ f(t-a)}都要免費變成L{ f(t-a)*u(t-a) }這樣 02/02 11:54
→ SS327:嗎@@ 02/02 11:55
→ doom8199:你要看你是不是在 "套公式" 02/02 11:56
→ doom8199:LT 的公式它裡頭都蘊含著 u(t-?) 這個 term 02/02 11:57
→ doom8199:可是若單純求 L{f(t-a)} , 跟L{f(t-a)*u(t-a)} 是不一樣 02/02 11:57
推 SS327:已知L{ f(t)}=F(S)..那求L{ f(t-a)}=F(S)*L{u(t-a) }? 02/02 11:58
→ doom8199:回 j 大: yes 02/02 11:58
推 mp8113f:感謝d大 看來公式沒錯 只是對於函數不太了解XD" 02/02 19:25