Re: [理工] [工數] 拉式轉換

[jack0711 (小修)]

※ 引述《moumii ()》之銘言：
: 請問s平方加1 的根號分之一的反轉換
: F(s) = (s^2 + 1)^(-1/2)
: f(t)= ?



          1       1      1   -0.5
F(s)=-----------=---*(1+----)
      √(s^2+1)   s      s^2


      1           1    -0.5   1     -0.5  1         -0.5    1
    =---*[1-0.5*---- + C    ----- +C    ----+...+ C     --------- +... ]
      s          s^2    2    s^4    3    s^6        n     s^(2n)

      1  ∞   -0.5    1
    =---*Σ  C     -------
      s  n=0   n    s^(2n)


           -0.5  (-0.5)*(-0.5-1)*(-0.5-2)*...*(-0.5-(n-1))
      其中C    =-------------------------------------------
            n                     n!


反拉式後:

     ∞   -0.5   1     2n
f(t)=Σ  C    -------*t
     n=0   n   (2n)!


     ∞   -1*(-3)*(-5)*...*(-2n+1)    2n
    =Σ ---------------------------*t
     n=0     2^n * n! * (2n)!


     ∞      n             1 * 3 * 5 * ... * (2n-1)      2n
    =Σ  (-1) ---------------------------------------*t
     n=0        2^n * n! * 1*2*3*4*5*6*...*(2n)

     ∞      n                 1                            2n
    =Σ  (-1) --------------------------------------------*t
     n=0        2^n * n! *   2 * 4 * 6 *...*(2n)

     ∞      n        1               2n
    =Σ  (-1) ----------------------*t
     n=0        2^n * n! * 2^n * n!

     ∞      n   1      t  2n
    =Σ  (-1) -------*(---)      [PS.這就是常見的Jo(t)級數解的公式
     n=0       n!*n!    2


    =Jo(t)


    有補周x，的話可以翻到上冊課本第270頁，它只是沒導出通式

    做法是一樣的。



   當然你也可以選擇第二種做法

   solve

    ty''+y'+ty=0  y(0)=1

    分別用級數解和Laplace轉換解，得到的結果會跟上面一樣。




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◆ From: 140.113.123.237
※ 編輯: jack0711        來自: 140.113.123.237      (02/03 19:34)
※ 編輯: jack0711        來自: 140.113.123.237      (02/03 19:42)
→ cowyou:第二種方法，需要再搭配y'(0)=0的邊界條件嗎?
→ jack0711:不需要，會被微分掉
推 ntust661:推^^
→ jack0711:題目給y'(0)=0只是讓你算起來比較心安而以
推 doom8199:要給 y'(0)=0 這個條件。   不然若 ode 給的第二個條件
→ doom8199:是 y'(0)=1 , 難道也要回答解為 y = J_0(t)  嗎XD
→ jack0711:不給也算的出來阿，它如果給y'(0)=1，我就不知道怎麼辦了
→ jack0711:如果不給y'(0)=0，再做d/ds(y'(0))這一項不就被微分=0了
→ doom8199:所以結論是, LT 的算法有問題, 不要用它來解反轉換...
→ jack0711:也是...不過有些題目就是故意叫你用L-T解...
→ jack0711:補習班工數老師都說，同一ODE在t>0和t<0為同一解
→ jack0711:所以用L-T算出來都叫我們不要加u(t)..
→ jack0711:不過這又是另外一個問題了@@，只是剛好想到
推 doom8199:其實用 LT 解 ode, 應該要先證明其解存在且唯一 才能使用
→ doom8199:像那題 bessel,  Y_0'(t)和 Y_0''(t)好像是因為 LT不存在
→ doom8199:所以經過一輪轉換後, Y_0(x) 所屬的曲線族通通消失不見
→ doom8199:因此不論 y'(0) 值為何, 通解一定只能算出 y=c*J_0(x)
→ jack0711:Y_0(x)在X=0會逼近到負無限大，題目條件y(0)=1
→ jack0711:所以自然Y前面系數應為0
→ doom8199:對，那個條件也會讓 Y_0(x) 不見。但 Y_n(x) 本身在
→ doom8199:LT 就不適用
→ doom8199:所以套 LT 下去算一定出問題
→ jack0711:所以說Y_n(x)不是指數階函數嗎@@?這我沒什麼概念..
→ doom8199:它是指數階函數。 但就像你說的, x=0 值會發散
→ doom8199:所以 LT "有可能"會不存在  (我沒算過就是了XD)
→ jack0711:阿，Y_n(x)不是分段連續函數，所以其L-T不存在
→ jack0711:我這樣講應該對吧...?
→ doom8199:函數沒有分段連續, LT還是有可能存在
→ doom8199:所以還是得乖乖套 LT 定義看 L{Y_n(t)} 存不存在
→ jack0711:恩，我搞錯了，充分和必要條件背得不夠熟...@@
→ sneak: 所以經過一輪轉換後,  https://daxiv.com