Re: [理工] 工數

[pikachu123 (pika)]

※ 引述《MagicMan5566 (咩居克)》之銘言：
: 1.                                                      [ 0  1  0 ]
:   Given the linear operator T with standard matrix [T]e=[ 1  0 -1 ]
:                                                         [ 0  0  0 ]
: [注]:e是標準基底
:                 [ 1 9  -6 ]
: B-matrix [T]b = [ 0 7  -4 ]    要解出基底b為何
:                 [ 2 11 -8 ]
: 小弟我用 同空間換基公式解 但列到這  [I][T]b=[T]e[I]        就卡在這邊了
: [注]:[I] 為 b to e
: 如果要硬解的話  小弟我花了20分鐘 結果沒有答案   有大大能幫忙解答嗎
: 2.
:    [1 2 3 1 b]                                   [1 0 0 -2  0 ]
:    [2 5 3 a 0]   經過列運算後 話簡程簡化列梯型   [0 1 0  d -1 ]
:    [1 0 8 6 c]                                   [0 0 1  1  e ]
: 解出a b c d e
: 小弟我硬解  結果解了很久才解出來
: 但我可能觀念不是非常清楚
: 這題好像可以運用列運算不會改變列空間跟零核空間 下去著手
: 有大大可以幫忙看一下嗎??

1.我用的方法可能有點慢 此題要做2次對角化

為了方便我令[T]e=A [T]b=B
由題目可知A~B 即存在L可逆使得 B=L^-1AL(欲求L)

接著對A作對角化 A的eigenvalue為-1,0,1

V(-1)=span{(-1,1,0)^t}
V(0)=span{(1,0,1)^t}
V(1)=span{(1,1,0)^t}

    [-1 1 1 ]
 P= [ 1 0 1 ]  使得P^-1AP=D or A=PDP^-1
    [ 0 1 0 ]

接著在對B作對角化 eigenvalue你不用算 跟A一樣

算eigenvector你自己算了,過程我不打了

     [3 6 5]
得Q= [2 4 4]  使得Q^-1BQ=D or B=QDQ^-1
     [4 7 6]

則B=QDQ^-1=QP^-1APQ^-1=(PQ^-1)^-1A(PQ^-1)=L^-1AL
                          -1
          [-1 1 1 ][3 6 5]   [ 3  1 -3]
則L=PQ^-1=[ 1 0 1 ][2 4 4]=  [-3  1  2]
          [ 0 1 0 ][4 7 6]   [ 2 -1 -1]


則b={(3,-3,2)^t,(1,1,-1)^t,(-3,2,-1)} 即為所求

不曉得有沒有更快的 這樣做感覺有點慢
(對角化完還要算反矩陣我用軟體算的所以超快XD)

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◆ From: 1.162.152.204
※ 編輯: pikachu123      來自: 1.162.152.204        (02/04 02:13)
推 jack0711:B-matrix [T]b是什麼意思阿@@??看不太懂= =
→ jack0711:-是減號的意思嗎??
推 larry310145:以b當作基底 的[T]矩陣
推 smalllmin:[T]e是向量空間V中標準基底經由T轉換得到的矩陣表示法
→ smalllmin:[T]b則是V中B基底經由T轉換而得的矩陣表示法
→ smalllmin:假設存在一個轉換矩陣P是V中由B基底-->標準基底
→ smalllmin:則[T]b = P^-1[T]eP  =>  P[T]b = [T]eP
→ smalllmin:再從選項帶P進去找符合的即可
→ pikachu123:這題沒給你P怎麼代 他是要你求P 你要用
→ pikachu123:相似具transitive的概念下去做