作者jack0711 (小修)
看板Grad-ProbAsk
標題Re: [理工] 工數Fourier
時間Tue Feb 7 20:03:16 2012
※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: 關於以下兩題
: n
: ∞ (-1)
: Find the sum of the series Σ ────
: n=1 4n^2 -1
∞ (-1)^n 1 ∞ n 1 ∞ n 1
Σ ---------- = ---[Σ (-1) *------ - Σ (-1) *----- ]
n=1 4n^2 -1 2 n=1 2n-1 n=1 2n+1
∞ n 1 2n+1 ∞ n 1 2n-1
令f(x)=Σ (-1) *-----* x , g(x)=Σ (-1) *-----* x
n=1 2n+1 n=1 2n-1
則 原式=0.5*[g(1)-f(1)]
∞ n 2n ∞ n 2n-2
f'(x)=Σ (-1) *x g'(x)=Σ (-1) * x
n=1 n=1
-x^2 1
f'(x)=[-x^2+x^4-x^6+....]= -----------= -1 + ---------
1 + x^2 1 + x^2
所以
-1
f(x)= -x + tan (x)
同理可證
-1
g(x)=-tan (x)
原式=0.5*[g(1)-f(1)]=0.5*[-pi/4 +1-pi/4]=0.5-pi/4
: ∞ sinωa 2
: Solve the integral ∫ [────] dω
: -∞ ωa
: 這解答我有 只是我是覺得蠻扯的就是了 要去猜原來的f(t)為何
: 有沒有版友有其他不同的觀念可以比較容易解這種題目呢 ..
: 感謝^^"
1 ∞ jwt
首先，因為f(t)=------*∫ F(w)*e dw
2*pi -∞
1 ∞
所以 f(0)=-----*∫ F(w) dw
2*pi -∞
令f(t)=g(t)⊕g(t)
F(w)=G(w)*G(w)
2*sin(aw)
g(t)為-a~a值為1之方波，則G(w)=----------
w
方波折積之連結 :
http://ppt.cc/!sf0
f(0)=2*a [摺積後之結果]
故 2
1 ∞ sin (aw)
f(0)=2*a=------∫ 4*---------- dw
2*pi -∞ w^2
=> 2
∞ sin (aw)
a*pi=∫ ---------- dw
-∞ w^2
原式=pi/a
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◆ From: 140.113.123.237
※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/07 20:04)
※ 編輯: jack0711 來自: 140.113.123.237 (02/07 20:11)
推 mp8113f:感謝 !問一下 第一題怎麼想到用那方法的 ? 02/07 22:11
→ jack0711:因為不想用FOURIER@@，自然得從級數來想囉 02/07 22:12
→ jack0711:從級數來想就必須補x給他 02/07 22:13
→ mp8113f:想到那種方法還蠻扯的 XD" 去湊精確解 02/07 22:20
→ mp8113f:你還有用這方法解過其他類級數嗎 02/07 22:20
→ jack0711:有阿，大部分都是tan^(-1)x 的形式 02/07 22:22
→ jack0711:我記得有一年台聯大那題就可以用這個方法 02/07 22:23
→ jack0711:不過那題比你這一題簡單蠻多 02/07 22:24
→ mp8113f:這方法還蠻好玩的 基本的1/n^2 應該也弄得出來吧 ! 02/07 22:24
→ mp8113f:我知道 你的這方法有點類似在解複變泰勒級數那的感覺 XD" 02/07 22:24
→ jack0711:恩，重點是要去觀察形式 02/07 22:25
→ jack0711:要背一些常用的級數解 02/07 22:26
→ mp8113f:你的方波那個 也是常看到就背起來了嗎 ? 02/07 22:28
→ jack0711:對阿，背起來了@@，用到的時候就很快 02/07 22:29
推 mp8113f:原來 感謝你提供我兩個新的方法 ^^ 02/07 22:31
→ jack0711:不客氣^^ 02/07 22:31