Re: [理工] 工數Fourier

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《mp8113f (丹楓)》之銘言：
: 關於以下兩題
:                                     n
:                            ∞   (-1)
: Find the sum of the series Σ ────
:                            n=1 4n^2 -1
:                     ∞   sinωa  2
: Solve the integral ∫  [────] dω
:                    -∞    ωa
: 這解答我有 只是我是覺得蠻扯的就是了 要去猜原來的f(t)為何
: 有沒有版友有其他不同的觀念可以比較容易解這種題目呢 ..
: 感謝^^"
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    以下用複變函數解:



  <1>

                ∞    (-1)^n
     考慮  L =  Σ   ────    ,  其中  f(n) = 4n^2 - 1
               n=-∞   f(n)

                                1
             = -πΣ Res{ ───────, z=p}    , where p: roots of f(z)=0
                  p       f(z)*sin(πz)

                          1                       1
             = -π*{ ──────│      +  ──────│      }
                     8z*sin(πz)  z=1/2     8z*sin(πz)  z=-1/2

             = -(π/2)

                [L - (-1)]
     所以欲求 = ───── = (1/2) - (π/4)
                    2


     ps:
          那個公式只適用於 f(n) 為 polynomial with order > 1

          證明複變函數課本有



  <2>

       ∞   sin(ωa) 2                    1 - e^(i2ωa)
      ∫   [────]  dω = Re{ πi*Res{───────}, z=0 }
       -∞    ωa                           2(ωa)^2

                                       -i
                           = Re{ πi* ──  }
                                       a

                           = (π/a)

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◆ From: 140.113.211.139
推 harrypotter2:doom神!!
推 SS327:QQ
→ SS327:無窮級數的計算  這單元課本好白阿
推 w0320:真正考試時有需要把各個路徑都計算過嗎 還單純使用留數就好?
→ w0320:因為看滿多解題書都直接算留數*2πi(或πi)
    要把各個路徑都算出來，因為留數是拿來算 環積分, 並非是瑕積分
    只是有些被積函數的 form 常使用 (例如 fourier transform)
    所以有些定理可以保證某些被積函數的外圈積分會趨近於 0
    例如第 <2> 題就使用到 Jordan's lemma

    當然若沒其它 thm. 保證，每條路徑都要乖乖去算它
    不能當作一定是趨近於 0

推 jody0113:第二題 可用 fourier+ 頻譜定理 直接得到
推 mp8113f: 推 順便拜一下 <( _ _ )>
推 a149851571:受益良多 <( _ _ )>
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.139      (02/08 15:21)
推 w0320:了解,謝謝!