Re: [理工] [拉式] 98南交工數

[jack0711 (小修)]

※ 引述《jerrysimon ()》之銘言：
: http://0pics.com/images/image171.jpg
: 第18題，我原本想要直接分式，但發現很難做
: 然後我讓它等於2式相乘、使用摺積定理，但逆轉換後的摺積我不會做
: 請問有人知道這題該怎麼處理嗎?
: 感謝~m(_ _)m~


  (D^4+2D^2+1)y(t) = 4t*e^t , y(0)=y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0

 =>(D^2 + 1)^2 y(t) = 4*t*e^t

   yh=c1*cost + c2*sint + c3*tsint + c4*tcost

                     1
   yp=4*e^t* ----------------- t
              ((D+1)^2 + 1)^2

                 1
     =4*e^t* -------- t = e^t*(1-2D)t
              8D + 4

     =(t-2)*e^t


   =>
      y(t) = c1*cost + c2*sint + c3*tsint + c4*tcost + (t-2)*e^t


     由 y(0)=0

     => c1=2

        y'(0)=0

     =>y'(t)= -2sint + c2*cost + c3*(sint+tcost) + c4(cost-tsint) + (t-1)e^t

     =>   0 = c2 +c4 -1

     => c2 + c4 = 1

        y''(t)=-2cost - c2*sint +c3*(2cost - tsint) + c4(-2sint-tcost) +te^t

     =>     0 = -2 + 2*c3

     => c3=1

    y'''(t)=2sint -c2*cost + c3*(-3sint - tcost) +c4*(-3cost+tsint)+(t+1)e^t

          0= -c2 + -3*c4 + 1

     =>c1=2,c2=1,c3=1,c4=0


    y(t) = c1*cost + c2*sint + c3*tsint + c4*tcost + (t-2)*e^t

         =  2*cost +    sint +    tsint +(t-2)*e^t





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◆ From: 140.113.123.237
→ jack0711:剛發現換成y=(c2+c3t)sint+(c1+c4t)cost+(t-2)e^t比較快
推 mp8113f:推 .. 南交題目不少 還出這種需要細心的題目XD"
推 Honinbo2007:第二行是不是有打錯
推 Honinbo2007:而且題目沒有給初值，雖然這假設是對的
※ 編輯: jack0711        來自: 140.113.123.237      (02/14 18:37)
→ jack0711:不是題目沒給初值,是用ODE的方式解要自己令初值為0
→ jack0711:算出的y(t)才會跟反拉式出來答案一樣
推 Honinbo2007:對阿，所以說你的假設是剛好對了
→ Honinbo2007:如果y(0)是-1/3 其他都零也能寫出一樣的式子
→ Honinbo2007:但是你的係數就解不出來了
→ Honinbo2007:簡單來說就是你把一個沒給初值的ODE用L解
→ jack0711:並不是剛好對,是要如此假設才會對
→ jack0711:如果y(0)=-1/3,那算出來結果跟題目要求不一樣
→ jack0711:不是我把沒有初值得ODE用LAPLACE解
→ jack0711:而是我要用此ODE做題目要求的反拉式,必須如此假設
→ jack0711:當然如果你不用我假設的ODE也是可以
→ jack0711:用不同ODE來算此反拉式,條件就會不同
→ jack0711:而沒有初值的ODE多半是沒辦法用拉式解
→ jack0711:因為用拉是必須知道y(0)=?y'(0)=?等等
→ jack0711:建議你可以去看拉式解ODE的章節來驗證我的說法
→ jack0711:如果拉式不知道初值也是可以解
→ jack0711:只是算出來y(0) . y'(0)就只能放著,跟常數C一樣意思
→ jack0711:所以沒給初值多半是不會用拉式解
→ jack0711:你如果堅持說我的ODE沒有初值,我可以給你一個驗證的方式
→ jack0711:你先假設y(0)=c1,y'(0)=c2,y''(0)=c3 ....
→ jack0711:算出來後和答案比較係數,會發現C1=C2=...=0
→ jack0711:或許你會找到另一組y(0) y'(0) y''(0)...讓此拉式成立
→ jack0711:那只代表此ODE用那組初值算出來也會與題目反拉結果相同
→ jack0711:令初值均為0必為一組解使得題目拉式成立
→ jack0711:令初值均為0必"存在"一組解使得題目拉式成立才對
→ sneak: 而沒有初值的ODE多半 https://daxiv.com