Re: [考題] 工程數學-反拉氏

[jack0711 (小修)]

※ 引述《Parents (Han)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Examination 看板 #1FJZn3cF ]
: 作者: Parents (Han) 看板: Examination
: 標題: [考題] 工程數學-拉氏
: 時間: Wed Feb 29 22:54:56 2012
: 各位版大，在下有題工程數學並非了解，想請請問各位大家想法如何?
:                        100s + 4
:         V(s) = ------------------------
:                 ( s + 2)( s^2 + s + 1)
:         試求V(t) ?
: 此題型為大學"拉普拉斯"一章節
: 在此奉上解答
: V(t) = -65.3*e^-2t + 65.3*e^-0.5t*sin(0.866t + 88(度))
: 煩請各位能夠不吝嗇的幫小弟解答~


  -1     100s + 4      -1         100s + 4
 L  [---------------]=L  [------------------------]
      (s+2)(s^2+s+1)       (s+2)[(s+0.5)^2 + 0.75]


  -0.5t  -1     100(s-0.5) + 4      -0.5t  -1       100s - 46
 =e     L  [--------------------- ]=e     L  [--------------------]
              (s+1.5)(s^2 + 0.75)              (s+1.5)(s^2 + 0.75)

  -0.5t  -1   A        Bs+C
 =e     L  [------ + -----------]
            s+1.5     s^2 + 0.75

     100s - 46  |
 A=-------------|       = -65.3
     s^2 + 0.75 |s=-1.5

 B和C也可以如此求得,不過我想換個方式做這一題

 利用控制系統觀念

 若一input --u(t)=sin(wt)   輸入一系統G(s)
           |          w
           --U(s)=---------
                   s^2+w^2

 則"steady state" output is yss(t)=|G(jw)|*sin(wt+∠G(jw))

 證明的話如果原po須要我在補上好了

 所以利用上面觀念
                  100s - 46                  1     √0.75
 將系統看做 G(s)=---------- , input U(s)=--------*--------------
                    s + 1.5               √0.75   s^2 + 0.75

                                             1
                                    u(t)=--------sin(√0.75t)
                                          √0.75

 這時候991拿出來,按一按(這裡按計算機也是有技巧的)

 ∠G(j√0.75)=88度

 |G(j√0.75)|=56.6

 所以yss=(56.6/√0.75)*sin(√0.75t+88度)

        =65.3*sin(√0.75t+88度)

     這一項就是上面求出B.C再反拉後的結果

 =>
   -0.5t -1  -65.3    Bs + C
  e     L  [------ + ----------]
             s+1.5   s^2+0.75

  -0.5t -1  -65.3      -0.5t
 =e    L  [-------] + e     *65.3*sin(√0.75t+88度)
            s+1.5

       -0.5t  -1.5t          -0.5t
 =-65.3e    *e       + 65.3*e     sin(0.866t+88度)

        -2t         -0.5t
 =-65.3e    + 65.3*e     sin(0.866t+88度)


 88度建議換乘弧度制比較好,事實上

 要算出解答這個型式也可以求出B.C再利用和角公式

 這招是在有計算機前題,和只算yss比較好用而已

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◆ From: 140.113.123.237
推 mp8113f:怎不是L^-1[U(s)G(s)]*exp[-0.5t]是答案 @@?
→ jack0711:因為那只有算到STEADY STATE
→ jack0711:y(t)=y1(t)+yss(t)
→ jack0711:lim(t->∞)y(t)=yss(t)
→ mp8113f:我看錯了 , 答案是L^-1[U(s)G(s)]*exp[-0.5t]沒錯XD"
→ jack0711:可以用比較簡單如1/(S^2+1)(S+1)的反拉驗證看看
→ jack0711:歐@@,原來是看錯XDD
→ mp8113f:只是是利用頻率響應的觀念解得穩態解 再去求暫態解
→ mp8113f:推這方法 找穩態解方便 !
※ 編輯: jack0711        來自: 140.113.123.237      (03/01 02:59)
推 Parents:非常感謝您不吝嗇的解答~讓小弟受益良多!