Re: [理工] [應數] 重疊原理(superposition principle)

[doom8199 (～口卡口卡 修～)]

※ 引述《wil0829ly (凱)》之銘言：
: Is the Principle of Superposition even valid for nonhomogeneous
: system of equations? Explain.
: 原題目連結 http://ppt.cc/9iz2 第3題的b
: 請問這題要怎麼證明呢....
: 麻煩版上高手幫個忙
: 謝謝!!
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    考慮  X'(t) = A(t)X(t) + b(t)

　　 => L{X(t)} ≡ X'(t) - A(t)X(t) = b(t)


    所以驗證一下當  L{X1(t)} = b1(t)
                    L{X2(t)} = b2(t)

    L{α*X1(t) + β*X2(t)} 是否也會等於  α*b1(t) + β*b2(t)


    這應該是不證自明 XD , 答案為 true


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.211.139
推 mp8113f:不證自明 XD
推 jack0711:我覺得有點奇怪耶,b(t)不是應該為已知
→ jack0711:b1(t)和b2(t)應該都是一樣為b(t)吧!?
→ jack0711:我的想法是X1'(t)-A(t)X1(t)=b(t)
→ jack0711:我的想法是X2'(t)-A(t)X2(t)=b(t)
→ jack0711:令X3(t)=X1(t)+X2(t)代入原式
→ jack0711:與上面兩式相加結果不同,所以不能線性組合
→ jack0711:不知道我想法是否正確?
→ doom8199:b(t) 當然會等於我文中寫的  α*b1(t) + β*b2(t)
→ doom8199:而 X(t) 則等於  α*X1(t) + β*X2(t)
→ doom8199:題目只是想問可不可以把疊加原理這個概念套在
→ doom8199:線性非齊性ode系統上，並"解釋"之
→ doom8199:若你覺得不行，就把不行的理由寫出來即可。 疊加原理
→ doom8199:看法有很多種，對 ode也是一樣。  我打的那個理由是
→ doom8199:ode特解的未定係數法 之原理，那個在微分方程課本有提到
推 jack0711:感謝D大說明
→ jack0711:也就是說這題沒有標準答案,端看如何解釋?
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    一般微分方程課本會把線性 ode分成齊性和非齊性的 case

    其中齊性 ode 的疊加原理是:

       if  x1(t) and x2(t) are the sol.s of L{x(t)} = 0

       then α*x1(t) + β*x2(t) is also the sol.s of L{x(t)} = 0


    而非齊性 ode 的疊加原理是:

       given L{x(t)} = b(t), then we can find L{x1(t)}=b1(t) and L{x2(t)}=b2(t)

       s.t.      L{α*x1(t)+β*x2(t)} = α*b1(t) + β*b2(t)
                                      = b(t)

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   若你想寫課本之外的 knowledge 或 concept 當然可以

   反正只要批改教授覺得 ok 就好吧
※ 編輯: doom8199        來自: 140.113.211.139      (03/01 14:06)
推 wil0829ly:感謝D大的講解!!
→ sneak: 線性非齊性ode系統上 https://daxiv.com