Re: [理工] [線代] 特徵根的問題

[seiki (セイキ)]

※ 引述《Johnfu (ㄟ...)》之銘言：
:       a  b
: A = (      )  be a real matrix.
:       b  c
: show that all eigenvalues or A are positive <=> a > 0 and ac - b^2 > 0


                              -1
A為實對稱矩陣 可對角化 A=P D P


                                       -1
det(A) =  det( P ) * det( D ) * det(  P   ) = det(D) =λa *λc



                         2     2               2
A的char(x) = (a-x)(b-x)-b   = x - (a+c)x + ac-b  = x- (λa +λc)x + λa *λc


(=>)

all eigenvalues are positive

               2
λa *λc = ac-b > 0 -> (a,c) 同號 -> (+,+) or (-,-)

λa +λc = a+c > 0 -> (-,-) -> a>0 , c>0 ;


(<=)

ac - b^2 > 0 => (a,c) 同號 -> (+,+) or (-,-)

λa *λc > 0  (λa , λc ) 同號

and

a > 0 , (a,c) 同號 , c > 0

λa +λc = a+c > 0


λa >0  , λc > 0 ;


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◆ From: 114.47.211.34
→ Johnfu:感謝