推 ILzi:感謝！有想到把積分是表示成F(x)，但是沒有想到這樣造新函數 03/31 22:44
→ ILzi:也有試著用MVT，不過還是一樣沒想到可以造新函數 03/31 22:45
※ 引述《ILzi ( 並不好笑 )》之銘言：
: 1 1
: 設f(x)在[0,1]連續，且∫ f(x)dx = ∫ xf(x)dx
: 0 0
: c
: 試證：存在一點c€(0,1) s.t. ∫ f(x)dx = 0
: 0
: 初步分析題目想使用面積的策略，然後依照題目欲證明的性質
: 似乎會使用中間值定理
: 但是一直想不到有何好方法可以巧妙的證明
: 因此想請問是否有板友可以幫忙證出這個性質?
x x
設 G(x) = ∫tf(t)dt - x∫f(t)dt, 則 G(0) = G(1) = 0.
0 0
因此由 Rolle's Thm, 存在 c∈(0,1) s.t. G'(c) = 0, 也就是說,
c c
cf(c) - ∫f(t)dt - cf(c) = 0 => ∫f(t)dt = 0
0 0
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※ 編輯: suhorng 來自: 61.217.34.144 (03/31 21:12)