推 kolinru:看不懂... 04/30 23:39
※ 編輯: ggyy940 來自: 211.74.93.232 (05/01 00:21)
※ 引述《Nolanly (V勝)》之銘言：
: 若λ1 、λ2 、...λm 為n ×n 方陣A的特徵值，則A的最小多項式可整除
: k1 k2 km
: f(x)=(x-λ1) (x-λ2) .....(x-λm)
: 其中kj=λj的代數重數-(n-Rank(A-λjI))+1
: "若n ≦ 3 時"，f(x)即為A的最小多項式
: 請問一下上述是我在書中看到最小多項式的定理
: 引號內是代表什麼意思? n不是矩陣的階數嗎 那應該是任意值吧
: 還是書中打錯(註:這是兪超凡的書)
: 若排版不佳請見諒
回一下好了
找最小多項式的目的
是為了化簡解方陣函數的繁雜步驟
(例如原本微分3次以上才能解 或許我可以微分1次就可找解)
先回到定義廣義特徵向量
假設1 4階方陣 λ四重根 只對應U1,U2兩個向量,缺少2個特徵向量
所以定義U3,U4兩個廣義特徵向量
AU3=λU3+U2 即(A-λI)U3=U2 ,欲使左式有解
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AU4=λU4+U3 即(A-λI)U3=U4
若按照這樣定義(原始Jordan form定義) 所得到的並不是最小多項式
所以必須重新定義U3,U4兩個廣義特徵向量
AU3=λU3+U2 即(A-λI)U3=U2
AU4=λU4+U1 即(A-λI)U4=U1
當然當dim[N(A-λI)∩col(A-λI)]=2 此時才需要重新定義
如果還是不懂 或許做個題目會更清楚吧~
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需U2屬於col(A-λI) 又U2屬於N(A-λI) (因為(A-λI)U=0)
得U2屬於[N(A-λI)∩col(A-λI)]
(1)若dim[N(A-λI)∩col(A-λI)]=1 此時K1,K2才是特徵向量缺少個數+1
(2)若dim[N(A-λI)∩col(A-λI)]=2,3,4..... K1,K2≠特徵向量缺少個數+1
最後 來一個沙畢斯~
若dim[N(A-λI)∩col(A-λI)]=2
表示dim N(A-λI) and dim col(A-λI)]至少都要=2 這樣他們交集維度才會是2
所以至少要4階方陣才需要考慮(2)的情形
然而 基本上研究所出的考題 都是以三階方陣為主
四階以上是數學所再玩的~
大致上是這樣
如有錯誤煩請指點一下~ 謝謝~
補個題目
1 0 3 0
0 1 0 3
A=
-3 0 7 0
0 -3 0 7
find jordan form and m(x)
4 1 0 0
0 4 0 0
ans: J= ,m(x)=(x-4)^2
0 0 4 1
0 0 0 4
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