Re: [理工] [工數] 矩陣特徵問題

[tobedesigner (亂)]

先說小弟不才，只能用最基本的解法小小出一點力了。
doom8199 大大的解法，我還在參透中......。

一切都是它    AX=λX
λ= -1
(A+I)X = O 得到矩陣為
     ┌  1  1  0  0 ┐
     ∣  7  1  1  0 │
     │  0  0  1  1 │
     └ -6  6  0  2 ┘
化簡成列梯矩陣後      X4為自由變數其它X1 X2 X3 去找與X4的關係
     ┌  1  1  0  0 ┐
     ∣  0 -6  1  0 │
     │  0  0  1  1 │
     └  0  0  0  0 ┘
得到eigenvector
     ┌  1 ┐
     ∣ -1 │
     │ -6 │
     └  6 ┘


λ=  1
(A-I)X = O
這一題應該是最快出來，因為用看的再比較一下應該不難
得到eigenvector
     ┌  1 ┐
     ∣  1 │
     │ -6 │
     └ -6 ┘


λ= -2
(A+2I)X = O 得到矩陣為
     ┌  2  1  0  0 ┐
     ∣  7  2  1  0 │
     │  0  0  2  1 │
     └ -6  6  0  3 ┘
化簡成列梯矩陣後      X4為自由變數其它X1 X2 X3 去找與X4的關係
     ┌  2   1   0  0 ┐
     ∣  0 -3/2  1  0 │
     │  0   0   2  1 │
     └  0   0   0  0 ┘
得到eigenvector
     ┌  1 ┐
     ∣ -2 │
     │ -3 │
     └  6 ┘

λ=  3
(A-3I)X = O
     ┌ -3  1  0  0 ┐
     ∣  7 -3  1  0 │
     │  0  0 -3  1 │
     └ -6  6  0 -2 ┘
化簡成列梯矩陣後      X4為自由變數其它X1 X2 X3 去找與X4的關係
     ┌ -3  1   0  0 ┐
     ∣  0-2/3  1  0 │
     │  0  0  -3  1 │
     └  0  0   0  0 ┘
得到eigenvector
     ┌  1 ┐
     ∣  3 │
     │  2 │
     └  6 ┘



※ 引述《peacrackers (歡樂可樂果)》之銘言：
: 原題目： Let A be a 4×4 matrix and find a nonsingular matrix P that can
:          diagonalize A and show the diagonalized form of matrix A.
:     ┌  0  1  0  0 ┐
:     ∣  7  0  1  0 │
:  A= │  0  0  0  1 │
:     └ -6  6  0  1 ┘
: 由 det(A-λI)=0 已求得 λ= -1,1,-2,3
: 但再接下來的eigenvector卻卡住了，懇求解惑，謝謝。
: P.S 4×4的eigenvector都解的很慢...也懇請版友不吝賜教，謝謝。

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◆ From: 218.187.25.49
推 ggyy940:其實不用做化簡.. 直接掛參數找解 因為特徵向量非唯一
→ ggyy940:例如你的第一個矩陣 我從1 3列直接可得x1=-x2 x3=-x4
→ ggyy940:取x1=1 x2=-1 帶入2列或4列亦可得x3與x4
→ ggyy940:PS: 我說從1 3列得x1=-x2 x3=-x4   你取簡單的做就好
→ ggyy940:不能兩個都取 EX:取x1=1 x3=1
→ tobedesigner:了解。就是下手是從 X1=-X2 或是 X3=-X4 去著手
→ cola1230:原PO不懂得可能是KER怎找基底 或是連自由變數都看不出來
推 peacrackers:這兩天忙…沒時間來這看。謝謝大家的意見和討論 :)