推 Nolanly:感謝~超詳細 07/02 14:19
※ 引述《Nolanly (V勝)》之銘言：
: 請教一下這個積分
: π π/2
: ∫ exp(-sinθ)dθ=2∫ exp(-sinθ)dθ ; 0 <θ<π
: 0 0
: 請問一下exp(-sinθ)不是要偶函數才能寫成這樣嗎?
: 希望幫我詳細解答，謝謝
這裡跟一般的奇偶函數不太一樣
偶函數是指f(x)=f(-x) 幾何上是對y軸對稱
而積分是計算曲線下的面積
由對稱軸往前和往後相同的區間面積會相等
0 L
所以 ∫ f(x) dx = ∫ f(x) dx
-L 0
而這題的函數圖形是對稱於x=π/2
可以google exp(-sin(x))
或者wolframalpha http://tinyurl.com/7j4ylmk
而0~π/2 和 π/2~π 區間又等長
π/2 π
所以 ∫ exp(-sinθ) dθ = ∫ exp(-sinθ) dθ
0 π/2
π π/2
∫ exp(-sinθ) dθ = 2 ∫ exp(-sinθ) dθ
0 0
如果要用偶函數來看的話可以令 θ = x+π/2, x = θ-π/2, dθ = dx
π π/2
∫ exp(-sinθ) dθ = ∫ exp(-sin(x+π/2)) dx
0 -π/2
π/2 0
= ∫ exp(-cosx) dx = 2 ∫ exp(-cosx) dx
-π/2 -π/2
π/2 π/2
= ∫ exp(-cos(θ-π/2)) dθ = ∫ exp(-sinθ) dθ
0 0
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