Re: [理工] 工程機率..

[ofd168 (大色狼來襲)]

※ 引述《qazqazqaz (qazqaz)》之銘言：
: 請問強者們
: If a fair die is rolled 12 times. What is the probability that
: the sum of the rolls is equal to 30 exactly ?
: 這題該如何分析解題呢?


我們可以看成
Xi = {1,2, ... ,6}  i=1,2,...,12


所以

X1 + X2 + .... + X12 = 30   ---(1)

我們可以進一步化簡
令 Yi = {0,1,...,5} i = 1,2,...,12

所以  Xi = Yi + 1 帶入 (1)式

Y1 + Y2 + ... + Y12 = 18

這個問題看成

有 18個球放入  12個籃子  籃子可為空 也可重覆放

所以問題變成 H或者用C也可以

答案因該是  H(12,18) =  C(12+18-1, 18) = C(29, 18)


以上只是憑著1.2年前修離散數學的記憶.....
如果有錯  一起討論吧~
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.18.104.235
※ 編輯: ofd168          來自: 163.18.104.235       (07/19 10:20)
→ DIDIMIN:這樣你的 Yi 可能出現大於 5 的情況哩
對後

所以還要減掉 Yi > 6的case

#(Yi>0) - [#(Y1>6) -... -#(Y12>6)]
        + [#(Y1>6 & Y2>6) + ....]<-上一行多減了 加回來
        - [#(Y1>6 & Y2>6 & Y3>6)]<-上一行多加了 簡回來
        + [#(Y1>6 & Y2>6 & Y3>6 & Y4>6)]
        - .....
        + .....
        ................

又因  #(Y1 >6) = ... = #(Y12 >6)  等 數量都相同
可化簡成下式

= C(29, 18) - 12 * #(Y1>6)
            + C(12,2) * #(Y1>6 & Y2 >6)   <---因為多減了 加回來
            - C(12,3) * #(Y1>6 & Y2 >6 & Y3>6) <--多加了
            + .......

又因為  3個Y同時>6為不可能  因最大也就18

所以
= C(29, 18) - 12 * #(Y1>6) + C(12,2) * #(Y1>6 & Y2 >6)

(i) Y1 > 6的case

   令 Y1 = D1 + 6 , Y2 = D2, Y3 = D3, ...... ,Di > 0, i = 1,2,..,12

      D1 + D2 + D3 + ... + D12 = 18 - 6 = 12

   #(Y1>6) = C(12+12-1, 12) = C(23, 12)

(ii) Y1 > 6 & Y2 > 6的case
  令 Y1 = D1 + 6, Y2 = D2 + 6 , Y3 = D3, .... ,Di > 0, i = 1,2,..,12

     D1 + D2 + D3 + ... + D12 = 18 - 6 - 6 = 6

 #(Y1>6 & Y2 >6) = C(12+6-1, 6) = C(17, 6)


所以答案因該是
        C(29, 18) - 12 * #(Y1>6) + C(12,2) * #(Y1>6 & Y2 >6)
=       C(29, 18) - 12 * C(23, 12) + C(12,2)*C(17, 6)



嘖.....好麻煩 感覺起來因該是這樣算  有人有更快的方法?
※ 編輯: ofd168          來自: 163.18.104.235       (07/19 15:31)
→ DIDIMIN:＜更快的方法──寫程式 XDDDD
推 qazqazqaz:我想應該沒更快的方法了... 分析得很透徹 感謝強者
→ qazqazqaz:的解析
有正確答案嗎   我這樣不知道對不對 好久沒碰了
※ 編輯: ofd168          來自: 163.18.104.235       (07/19 19:25)
推 qazqazqaz:發現小錯誤 最後面應該是要令D1=Y1-6
推 qazqazqaz:答案 正確!!
OKOK   D和Y左右寫反  已修正
※ 編輯: ofd168          來自: 163.18.104.235       (07/19 19:31)